[논문 리뷰] An Algorithmic Theory of Integer Programming

Friedrich Eisenbrand, Christoph Hunkenschröder외 4명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 02.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 54인용 수 34

한 줄 요약

논문은 변수 개수 n이 가변인 일반 정수 프로그래밍을 해결하기 위한 알고리즘 프레임워크를 개발하고, 계수 a와 treedepth로 표현된 희소성을 매개변수화하여 여러 구조적 IP 클래스에 대해 고정매개변수가능성과 거의 선형 시간 결과를 달성한다.

ABSTRACT

We study the general integer programming problem where the number of variables $n$ is a variable part of the input. We consider two natural parameters of the constraint matrix $A$: its numeric measure $a$ and its sparsity measure $d$. We show that integer programming can be solved in time $g(a,d) extrm{poly}(n,L)$, where $g$ is some computable function of the parameters $a$ and $d$, and $L$ is the binary encoding length of the input. In particular, integer programming is fixed-parameter tractable parameterized by $a$ and $d$, and is solvable in polynomial time for every fixed $a$ and $d$. Our results also extend to nonlinear separable convex objective functions. Moreover, for linear objectives, we derive a strongly-polynomial algorithm, that is, with running time $g(a,d) extrm{poly}(n)$, independent of the rest of the input data. We obtain these results by developing an algorithmic framework based on the idea of iterative augmentation: starting from an initial feasible solution, we show how to quickly find augmenting steps which rapidly converge to an optimum. A central notion in this framework is the Graver basis of the matrix $A$, which constitutes a set of fundamental augmenting steps. The iterative augmentation idea is then enhanced via the use of other techniques such as new and improved bounds on the Graver basis, rapid solution of integer programs with bounded variables, proximity theorems and a new proximity-scaling algorithm, the notion of a reduced objective function, and others. As a consequence of our work, we advance the state of the art of solving block-structured integer programs. In particular, we develop near-linear time algorithms for $n$-fold, tree-fold, and $2$-stage stochastic integer programs. We also discuss some of the many applications of these classes.

연구 동기 및 목표

• 입력에 의존하는 변수 수 n 을 갖는 일반 IP를 동기부여하고 연구한다.
• 계수 크기와 treedepth 를 사용하여 제약 행렬 A의 수치적 (a) 및 희소성 (d) 척도를 정의한다.
• IP 를 효율적으로 해결하기 위한 Graver basis 를 중심으로 한 반복 증강 프레임워크를 개발한다.
• 일부 클래스에 대해 separable convex objectives 를 확장하고 강한 다항시간 결과를 얻는다.
• 제안된 접근 방식의 한계를 구분하기 위한 hardness 결과와 하한을 제시한다.]

제안 방법

• 가능해 solution에서 시작하는 반복 증강 알고리즘을 도입한다.
• A의 Graver basis를 기본 증강 단계 집합으로 사용한다.
• 증강 단계를 안내하기 위한 proximity, relaxation, augmentation 오라클을 개발한다.
• 목적의 Frank–Tardos 스타일 동등성을 적용하여 계수 상한 표현을 얻는다.
• N-fold, tree-fold, 그리고 2-stage stochastic IP에 대해 거의 선형의 고정매개변수 알고리즘을 도출한다.
• ETH 하에서의 하한을 제시하고 기존의 하드니스 결과와 대조한다.]

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n 을 입력의 일부로 하는 일반 IP 를 작게 평가된 a 와 d 로 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 IP 에 대한 원시/이중 treedepth 가 tractability 와 실행 시간에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 프레임워크를 separable convex objectives 및 비선형 케이스로 확장할 수 있는가?
• RQ4 ETH 하에서의 hardness 및 하한 측면에서 이 접근법의 한계는 무엇인가?
• RQ5 결과가 n-fold, tree-fold, 및 확률적 프로그램과 같은 구조적 IP 클래스에 어떻게 적용되는가?

주요 결과

• IP 는 a, d 를 계산 가능한 g(a,d) 로 시간복잡도 g(a,d) poly(n,L) 으로 해결할 수 있어 a 와 d 가 작을 때 IP 가 고정매개변수가능하게 된다.
• 나머지 입력의 영향을 받지 않는 g(a,d) poly(n) 의 강한 다항 시간 알고리즘이 존재한다.
• 근사 스케일링 접근법은 IP 를 로그-기수의 relaxed 인스턴스로 다항 계수로 한정하여 축소시킨다.
• N-fold, tree-fold, 및 2-stage stochastic IP 에 대해 거의 선형 고정매개변수 알고리즘이 도출된다.
• tdP(A) 또는 tdD(A) 하에서 ETH 아래 이중 지수 하한을 제시하며 고유한 한계를 보여준다.
• 프레임워크는 separable convex objectives 로 확장되며 여러 구조적 IP 클래스에 대해 더 빠른 알고리즘을 제공한다.