[논문 리뷰] An alternative proof of a result of Takaoka

Shiqi Song|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 05.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 자산 과정의 국소적 특성만을 사용하여, 반정마당 금융 모델에서 무한한 수익 없이 유한한 리스크를 가진 조건(NUPBR)이 국소 마틴갈 데프레이터의 존재와 동치임을 다시 증명한다. 증명은 전역적 조건인 NFLVR 조건에 의존하지 않고, 반정마당 미분법, 유한차원 볼록 해석학, 측정 가능 선택을 활용하여, 국소 역학에만 기반한 NUPBR에 대한 자율적인 이론을 완성한다.

ABSTRACT

In Karatzas and Kardaras's paper on semimartingale financial models, it is proved that the NUPBR condition is a property of the local characteristic of the asset process alone. In Takaoka's paper on NUPBR, it is proved that the NUPBR condition is equivalent to the existence of a simga-martingale deflator. However, Takaoka's paper founds its proof on Delbaen and Schachermayer's fundamental asset pricing theorem, i.e. the NFLVR condition, which is not a pure property of the local characteristic of the asset process. In this paper we give an alternative proof of the result of Takaoka, which makes use only the properties of the local characteristic of the asset process.

연구 동기 및 목표

• 자산 과정의 국소적 특성에만 기반하여 NUPBR 조건의 자율적 특성화를 확립하기 위해.
• Takaoka의 원래 증명에서 전역적 성질인 NFLVR 조건에 의존한 한계를 해결하기 위해.
• Karatzas와 Kardaras의 프레임워크에 부합하면서, NUPBR와 국소 마틴갈 데프레이터 존재성 간의 동치성을 자립적으로 증명하기 위해.
• 전역 마틴갈 측도를 도입하지 않고도 국소 분석을 통해 수익성 포트폴리오의 존재가 국소 마틴갈 데프레이터의 존재를 암시함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 수익성 포트폴리오 $\mathsf{V}(H^*)$에 의해 유도되는 표준화에 따라, 변환된 과정 $S / \mathsf{V}(H^*)$가 자산 가격 정리의 두 번째 단계 조건을 만족함을 관찰함으로써 증명을 시작한다.
• Kreps-Yan 정리를 적용하여, 모든 $f \in \mathsf{C}$에 대해 $\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[f] \leq 0$ 를 만족하는 확률 측도 $\mathbb{Q}$의 존재를 확보한다. 여기서 $\mathsf{C}$는 적정 포트폴리오와 그 수익을 기반으로 정의된 집합이다.
• 자산 과정 $S$가 $S / \mathsf{V}(\rho^*)$로 대체될 때, 원래 측도 $\mathbb{P}$ 하에서 이미 전역 조건 (1)이 만족됨을 이용한다. 여기서 $\rho^*$는 수익성 포트폴리오이다.
• Delbaen과 Schachermayer의 기본 정리의 두 번째 단계를 활용하며, 이는 반정마당 과정의 국소적 특성에만 의존한다. 이 과정에서 유한차원 볼록 해석학과 측정 가능 선택을 사용한다.
• 국소 마틴갈 데프레이터 $\xi = \frac{1}{\mathsf{V}(\rho^*)} \mathcal{E}(M)$의 구성이, $\mathbb{P}$ 하에서 $[0,T]$에서 $\xi$와 $S\xi$가 모두 국소 마틴갈 레이터임을 보여준다.
• 양수성과 적분 가능성 덕분에 $1 + H^\top \cdot S$에 $\xi$를 곱한 것이 $\sigma$-마틴갈 레이터이므로, 국소 마틴갈 레이터임을 확인함으로써 $\xi$가 국소 마틴갈 데프레이터임을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 NUPBR 조건은 NFLVR 조건에 의존하지 않고 국소 마틴갈 데프레이터의 존재와 동치인가?
• RQ2 NUPBR와 국소 마틴갈 데프레이터의 동치성은 자산 과정의 국소적 특성만을 사용하여 증명될 수 있는가?
• RQ3 수익성 포트폴리오의 존재는 순수 국소 분석을 통해 국소 마틴갈 데프레이터의 존재를 암시하는가?
• RQ4 Takaoka의 결과 증명은 전역 NFLVR 조건에 의존하지 않고 재구성될 수 있는가?

주요 결과

• NUPBR 조건은 국소 마틴갈 데프레이터의 존재와 동치이며, 이 동치성은 반정마당 자산 과정의 국소적 특성만을 사용하여 증명될 수 있다.
• Kreps-Yan 정리의 전역 조건이 수익성 포트폴리오 $\mathsf{V}(\rho^*)$로의 표준화 이후 원래 측도 $\mathbb{P}$ 하에서 이미 만족됨을 보여줌으로써, NFLVR 조건에 의존하지 않음을 입증한다.
• 국소 마틴갈 데프레이터 $\xi = \frac{1}{\mathsf{V}(\rho^*)} \mathcal{E}(M)$가 명시적으로 구성되었으며, $\mathbb{P}$ 하에서 $[0,T]$에서 $\xi$와 $S\xi$가 모두 국소 마틴갈 레이터임이 입증되었다.
• 이 방법은 반정마당 미분법, 유한차원 볼록 해석학, 측정 가능 선택에만 의존하며, Karatzas와 Kardaras(2007)가 시작한 프로그램과 일치한다.
• 결과는 NUPBR 조건이 자산 과정의 순수 국소적 성질임을 확인한다. 즉, 전역 경로 기반 성질이 아닌 국소적 특성에만 의존한다.