[논문 리뷰] An Anzellotti type pairing for divergence-measure fields and a notion of weakly super-$1$-harmonic functions

Christoph Scheven, Thomas Schmidt|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 10.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 특정 대표값 $u^+$를 사용하여 발산 측정 장과 BV 함수의 기울기 사이의 새로운 Anzellotti 유형 쌍을 도입한다. 이 $u^+$는 ${\mathcal{H}}^{n-1}$-거의 everywhere에서 정의되며, 약한 초1-조화 함수의 정의를 일관되게 유지한다. 주요 기여는 경계 데이터를 포함하는 수정된 쌍을 통해 1-Laplace 방정식에 대한 새로운 약한 초해결책의 개념을 제안한 것으로, 약한* 수렴에 대한 안정성과 관련된 컴팩턴스 결과를 증명한다.

ABSTRACT

We study generalized products of divergence-measure fields and gradient measures of { m BV} functions. These products depend on the choice of a representative of the { m BV} function, and here we single out a specific choice which is suitable in order to define and investigate a notion of weak supersolutions for the $1$-Laplace operator.

연구 동기 및 목표

• 1-Laplace 방정식에 대한 BV 설정에서 약한 초해결책의 일관성 있고 안정적인 개념을 정의하기 위해.
• BV 함수와 발산 측정 장 사이의 쌍을 정의할 때 ${\mathcal{H}}^{n-1}$-영집합에서 정의되는 특정 대표값 $u^+$를 선택하여 모호함을 해결하기 위해.
• 경계 조건이 있는 Dirichlet 문제에 대해 1조화 함수 이론을 확장하기 위해 수정된 경계를 포함하는 쌍을 사용하여 초해결책의 개념을 확장하기 위해.
• 자연스러운 수렴 조건 하에서 약한 초1-조화 함수의 수열에 대해 컴팩턴스 성질을 확립하기 위해.

제안 방법

• BV 함수 $u$의 새로운 대표값 $u^+$를 정의하여, 이는 감소한 경계에서 ${\mathcal{H}}^{n-1}$-거의 everywhere에서 정의되며, 발산 측정 장과의 쌍을 일관되게 유지한다.
• $\sigma \in {\mathcal{DM}}^{\infty}_{\rm loc}(\Omega, \mathbb{R}^n)$ 및 $u \in {\rm BV}_{\rm loc}(\Omega) \cap {\rm L}^\infty_{\rm loc}(\Omega)$에 대해 일반화된 쌍 $\llbracket\sigma, {\rm D}u^+\rrbracket$를 정의하며, 이는 부호 있는 Radon 측도를 생성한다.
• 경계 자료 $u_0 \in {\rm W}^{1,1}(\Omega) \cap {\rm L}^\infty(\Omega)$를 포함하는 경계까지의 쌍 $\llbracket\sigma, {\rm D}u^+\rrbracket_{u_0}^*$를 구성한다.
• 어떤 $\sigma \in S^\infty(\Omega, \mathbb{R}^n)$에 대해 ${\rm div}\,\sigma \leq 0$ 이고 $\llbracket\sigma, {\rm D}u^+\rrbracket_{u_0}^* = |{\rm D}_{u_0}u|$ 가 $\overline{\Omega}$ 상에서 성립할 때, 약한 초1-조화 함수를 정의한다.
• $|{\rm div}\,\sigma|$ 가 ${\mathcal{H}}^{n-1}$ 에 대해 절대 연속임을 이용하여 쌍이 잘 정의되고 수렴에 대해 안정됨을 보장한다.
• 약한 수렴 조건 하에서 증가하는 약한 초1-조화 함수 수열의 극한이 여전히 약한 초1-조화 함수임을 보여주는 컴팩턴스 결과(정리 5.2)를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수가 ${\mathcal{H}}^{n-1}$-영집합에서 정의된 것으로만 주어질 때, 발산 측정 장과 BV 함수 사이의 일관성 있고 안정적인 쌍을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 일반화된 쌍이 잘 정의되고 물리적으로 의미 있는지 보장하기 위해 BV 함수의 적절한 대표값은 무엇인가?
• RQ3 BV 설정에서 Dirichlet 경계 조건을 포함하는 1-Laplace 방정식의 초해결책 개념을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 자연스러운 수렴 조건 하에서 약한 초1-조화 함수 수열에 대해 성립하는 컴팩턴스 성질은 무엇인가?
• RQ5 해의 경계 행동은 $\partial\Omega$에서 벡터장 $\sigma$의 법선 성분 $\sigma_n^*$와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 논문은 감소한 경계에서 ${\mathcal{H}}^{n-1}$-거의 everywhere에서 정의되는 새로운 BV 함수의 대표값 $u^+$를 도입하며, 이는 발산 측정 장과의 일반화된 쌍에서 일관성을 보장한다.
• 일반화된 쌍 $\llbracket\sigma, {\rm D}u^+\rrbracket$ 는 잘 정의되어 있으며, 서명 있는 Radon 측도를 생성하여 약한 초1-조화 함수의 정의를 가능하게 한다.
• 경계 자료 $u_0$ 를 포함하는 수정된 경계까지의 쌍 $\llbracket\sigma, {\rm D}u^+\rrbracket_{u_0}^*$ 가 구성된다.
• 약한 초1-조화 함수 정의에서의 경계 조건은 $u_{\partial\Omega}^{\rm int} < (u_0)_{\partial\Omega}^{\rm int}$ 인 집합에서 ${\mathcal{H}}^{n-1}$-거의 everywhere에서 $\sigma_n^* \equiv -1$ 과 동치이다.
• 정리 5.2는 컴팩턴스 결과를 증명한다: 경계 자료가 강한 $W^{1,1}$ 수렴과 약한* $L^\infty$ 수렴을, 함수들이 약한* 수렴을 보일 때, 증가하는 약한 초1-조화 함수 수열의 극한은 여전히 약한 초1-조화 함수이다.
• 결과는 $u$의 경계값이 교차되지 않는 한, 경계값을 증가시키거나 감소시키더라도 초해결책 성질에 영향을 주지 않음을 보여주며, 이는 1차원 경우와 일치한다.