[논문 리뷰] An Approximate Riemann Solver for Convection-Pressure Split Euler Equations Using Jordan Canonical Forms

Naveen Kumar Garg, S. V. Raghurama Rao외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 01.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 진정으로 약한 쌍곡형 부분계수(실수 고유값은 있으나 선형 독립 고유벡터의 완비 집합이 없는 경우)를 다루기 위해 조르당 기저형식을 사용하여 완전한 선형 독립 일반화된 고유벡터 집합을 구성함으로써, 오일러 방정식에 대한 상류 수치 해법을 제안한다. 이 방법은 충돌-압력 분리 방법에서 안정적인 플럭스 차분 분할을 가능하게 하며, 충격 불안정성이 있는 1차원 및 2차원 기준 문제에서 검증되었다.

ABSTRACT

In this study, we analyze convection-pressure split Euler flux functions which contain genuine weakly hyperbolic convection subsystems. A system is said to be a genuine weakly hyperbolic if all eigenvalues are real with no complete set of linearly independent (LI) eigenvectors. To construct an upwind solver based on flux difference splitting (FDS) framework, we require to generate complete set of LI eigenvectors. This can be done through addition of generalized eigenvectors which can be computed from theory of Jordan canonical forms. Once we have complete set of LI generalized eigenvectors, we construct upwind solvers in convection-pressure splitting framework. Since generalized eigenvectors are not unique, we take extra care to ensure no direct contribution of generalized eigenvectors in the final formulation of both the newly developed numerical schemes. First scheme is based on Zha and Bilgen type splitting approach, while second is based on Toro and Vazquez splitting. Both the schemes are tested on several bench-mark test problems on 1-D and one of them is tested on some typical 2-D test problems which involve shock instabilities. The concept of generalized eigenvector based on Jordan forms is found to be useful in dealing with the genuine weakly hyperbolic parts of the considered Euler systems.

연구 동기 및 목표

• 충돌 부분계수가 진정으로 약한 쌍곡형일 경우(실수 고유값은 있으나 선형 독립 고유벡터의 완비 집합이 없음)에 대해 충돌-압력 분리 오일러 방정식을 해결하는 데 도전하는 것.
• 표준 고유계수 방법이 고유벡터의 완비성이 결여되어 실패하는 상황에서, 이러한 시스템에 대해 안정적인 상류 해법을 플럭스 차분 분할(FDS) 프레임워크 내에서 개발하는 것.
• 고유계수를 완성하기 위해 사용된 일반화된 고유벡터가 최종 수치 플럭스 수식에 직접 기여하지 않도록 보장하는 것.
• 시험용 1차원 및 선택된 2차원 기준 문제를 통해 제안된 방법을 검증하는 것. 특히 충격 불안정성이 있는 문제에 초점을 맞춘다.

제안 방법

• 진정으로 약한 쌍곡형인 충돌 부분계수(실수 고유값, 고유벡터 집합의 완비성 결여)에 대해 조르당 기저형 이론을 활용하여 일반화된 고유벡터를 계산하는 것.
• 상류 해법에서 플럭스 차분 분할을 가능하게 하기 위해 선형 독립 일반화된 고유벡터의 완전한 기저를 구성하는 것.
• 두 가지 다른 플럭스 분할 접근법을 적용: Zha 및 Bilgen 방식의 분할과 Toro 및 Vazquez 방식의 분할. 이는 일반화된 고유벡터 프레임워크에 적응된 형태로 적용된다.
• 일반화된 고유벡터가 최종 수치 플럭스에 나타나지 않도록 변환 및 플럭스 재구성 과정을 철저히 설계하는 것.
• 결과로 도출된 방법을 유한체적 프레임워크에 구현하고, 충격 및 불연속성을 포함한 1차원 및 2차원 오일러 방정식 기준 문제에서 시험하는 것.
• 조르당 형식을 활용하여 충돌-압력 분리에서 발생하는 비대각화 가능한 시스템을 체계적으로 다루며, 상류 성질을 유지하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 충돌 부분계수가 진정으로 약한 쌍곡형인 경우, 충돌-압력 분리 오일러 방정식에 대해 안정적인 상류 플럭스 차분 분할 방법을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 조르당 기저형식에서 유도된 일반화된 고유벡터는 비대각화 가능한 충돌 부분계수를 위한 수치 해법의 구현에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 일반화된 고유벡터의 포함을 최종 플럭스 수식에서 체계적으로 피할 수 있는가? 이때도 수치적 안정성과 정확성을 유지할 수 있는가?
• RQ4 제안된 방법은 표준 방법과 비교해 1차원 및 2차원 기준 문제에서 충격 불안정성을 포함한 상황에서 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 조르당 기저형식을 통한 일반화된 고유벡터의 사용이, 진정으로 약한 쌍곡형인 충돌 부분계수에 대해 완전한 기저를 구성하는 데 성공적으로 기여함을 확인하였다.
• Zha 및 Bilgen, 그리고 Toro 및 Vazquez 분할 방식을 기반으로 한 제안된 방법은 1차원 및 2차원 시험 문제에서 충격 불안정성을 포함한 안정적인 수치적 해를 달성하였다.
• 최종 수치 플럭스 수식에는 일반화된 고유벡터의 직접 기여가 없었으며, 플럭스 분할의 물리적 구조가 유지되었다.
• 이 방법은 오일러 방정식의 충돌 부분계수에서 비대각화 가능성 문제를 효과적으로 다루었으며, 표준 고유계수 해법의 한계를 극복하였다.
• 시험 기준 문제에서 충격과 불연속성을 안정적으로 포착하면서 임의의 불필요한 진동을 유발하지 않았다.