[논문 리뷰] An Asymptotic Analysis of Queues with Delayed Information and Time Varying Arrival Rates

Jamol Pender, Richard H. Rand외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 19.

Advanced Queuing Theory Analysis참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 지연된 정보와 시간에 따라 변하는 도착률을 갖는 두 가지 결정론적 유체 대기 모델을 분석하여, 시간에 따라 변하는 도착률이 시스템 안정성에 영향을 미치는 조건을 점점 가까이 분석한 결과, 도착률의 주파수가 임계 지연 주파수의 두 배일 때에만 안정성에 영향을 미친다. 주요 기여는 정현파 도착 변동으로 인한 매개변수적 외부 자극을 고려한 보완된 안정성 임계값을 제시한 것이다.

ABSTRACT

Understanding how delayed information impacts queueing systems is an important area of research. However, much of the current literature neglects one important feature of many queueing systems, namely non-stationary arrivals. Non-stationary arrivals model the fact that customers tend to access services during certain times of the day and not at a constant rate. In this paper, we analyze two two-dimensional deterministic fluid models that incorporate customer choice behavior based on delayed queue length information with time varying arrivals. In the first model, customers receive queue length information that is delayed by a constant Delta. In the second model, customers receive information about the queue length through a moving average of the queue length where the moving average window is Delta. We analyze the impact of the time varying arrival rate and show using asymptotic analysis that the time varying arrival rate does not impact the critical delay unless the frequency of the time varying arrival rate is twice that of the critical delay. When the frequency of the arrival rate is twice that of the critical delay, then the stability is enlarged by a wedge that is determined by the model parameters. As a result, this problem allows us to combine the theory of nonlinear dynamics, parametric excitation, delays, and time varying queues together to provide insight on the impact of information in queueing systems.

연구 동기 및 목표

• 지속적으로 변화하는 도착률을 갖는 대기 시스템에서 지연된 대기 길이 정보가 시스템 안정성에 미치는 영향을 연구하는 것.
• 실제 응용 분야인 헬스케어 및 교통 분야에서 흔한 시간에 따라 변하는 도착률을 포함하여 기존의 지연된 정보 모델을 확장하는 것.
• 시간에 따라 변하는 도착률이 안정성과 불안정성의 경계를 이루는 임계 지연 임계값을 어떻게 변화시키는지 조건을 규명하는 것.
• 점점 가까이 분석 기법을 적용하여 정현파 도착률의 진동으로 인한 매개변수적 외부 자극을 고려한 수정된 안정성 임계값을 유도하는 것.

제안 방법

• 지연된 정보 하에서 대기 길이 동역학을 나타내기 위해 이차원 결정론적 유체 모델을 사용한다.
• 지연되거나 이동 평균된 대기 길이 정보를 기반으로 다항 로지스틱 함수를 통해 고객 선택을 모델링한다.
• 작은 진폭의 시간에 따라 변하는 도착률을 갖는 시스템을 분석하기 위해 일치하는 점점 가까이 전개와 이변수 전개 방법을 적용한다.
• 시간에 따라 변하는 도착률을 작은 진폭 ε을 갖는 정현파 편미분으로 간주하고, 비시간에 따라 변하는 평형점 주변으로 시스템을 전개한다.
• 시간에 따라 변하는 도착률 주파수와 시스템 매개변수에 따라 달라지는 수정된 임계 지연 임계값을 도출한다.
• 지연 미분 방정식의 수치적 통합을 통해 점점 가까이 예측된 안정성 및 허프 브리프케이션의 정합성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 따라 변하는 도착률은 지연된 정보를 갖는 대기 시스템의 임계 지연 임계값에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 시간에 따라 변하는 도착률의 성격이 일정 도착률 하에서 안정한 시스템에 불안정성을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 시간에 따라 변하는 도착률의 주파수와 임계 지연 주파수 간의 상호작용이 시스템 안정성에 영향을 미치는가?
• RQ4 점점 가까이 분석은 지연된 정보와 시간에 따라 변하는 도착률을 갖는 유체 모델에서 진동 행동의 시작(허프 브리프케이션)을 정확히 예측할 수 있는가?

주요 결과

• 시간에 따라 변하는 도착률은 그 주파수가 임계 지연 주파수의 정확히 두 배일 때에만 시스템 안정성에 영향을 미친다.
• 도착률 주파수가 임계 지연 주파수의 두 배일 경우, 모델 매개변수 λ, μ, Δcr에 의해 결정되는 쐐기 모양 영역에 의해 안정성 임계값이 증가한다.
• 수정된 임계 지연은 Δ = Δcr ± ε√(α²Δcr² / (Δcrλ + 4Δcrμ + 4))로 주어지며, 부호는 식 (3.123)–(3.125)에서 정의된 바와 같이 λ, μ, Δcr에 따라 달라진다.
• 수치 시뮬레이션은 점점 가까이 예측가 정확히 수정된 임계값에서 안정적 수렴에서 진동적 비동기 행동으로의 전이를 포착하고 있음을 확인한다.
• 임계 지연 주파수의 두 배가 아닌 도착률 주파수에서는 안정성 역학이 비시간에 따라 변하는 경우와 거의 동일하게 유지된다.
• 분석을 통해 비선형 역학, 매개변수적 외부 자극, 지연 시간, 시간에 따라 변하는 입력 간의 새로운 상호작용이 대기 시스템에서 드러난다.