[논문 리뷰] An asymptotics of variance of the lattice points count

Jiřı́ Janáček|arXiv (Cornell University)|2007. 03. 14.

Mathematical Dynamics and Fractals인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $ rD \subset \mathbb{R}^d $ 형태의 무작위로 이동하고 회전된 확대된 집합에서 격자점 수의 渐近 분산을 확립하며, 회전에 대한 푸리에 변환의 제곱 평균이 $ O(\rho^{-d-1}) $ 로 감소할 조건 하에 이 분산이 $ C_{\mathbf{T}} H^{d-1}(\partial D) r^{d-1} $ 의 형태로 첨수됨을 보여준다. 이 결과는 $ D $ 의 등방성 공분산함수에 적용된 위너 유형의 타우버형 정리로부터 유도되며, 이는 이전 결과를 경계가 조각별 $ C^2 $ 또는 볼록인 집합으로까지 확장한다.

ABSTRACT

The variance of the number of lattice points inside the dilated bounded set rD with random position in R^d has asymptotics r^(d-1) if the rotational quadratic average of the modulus of the Fourier transform of the set is O(r^(-d-1)). The asymptotics follows from a Wiener's Tauberian theorem.

연구 동기 및 목표

• 무작위 위치와 회전을 가진 확대된 집합 $ rD \subset \mathbb{R}^d $ 에서 격자점 수의 분산의 渐近 행동을 유도하는 것.
• 분산이 $ r^{d-1} $ 으로 증가하는 것을 보장하는 $ D $ 의 기하학적 성질과 푸리에 분석적 성질에 대한 충분 조건을 규명하는 것.
• 공을 넘어 일반적인 컴팩트하고 $ d $ 차원의 전체적인 집합으로 분산의 渐近 성질에 대한 기존 결과를 확장하는 것.
• 등방성 공분산함수와 그 푸리에 변환의 역할이 분산의 渐近 첨수 스케일링을 결정하는 데 어떤지를 규명하는 것.
• 타우버형 방법을 통해 볼록 집합과 $ C^{3/2} $-연속 경계를 가진 집합에 적용 가능한 일반적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 특성 함수 $ \widehat{I_D} $ 의 푸리에 변환과 그 회전 평균을 사용하여 격자점 수의 분산을 분석한다.
• 등방성 공분산함수 $ \overline{\gamma_D} $ 에 위너 유형의 타우버형 정리를 적용하여 그 감쇠 성질과 분산의 渐近 성질를 연결한다.
• 반경 함수의 푸리에 변환에 대한 하이넬 변환 표현을 사용하여 $ \widehat{I_D} $ 와 베셀 함수를 연결한다.
• 이중 격자점에 대한 가중치 합으로 정의된 격자 상수 $ C_{\mathbf{T}} $ 를 정의한다: $ |A^{-1}n|^{-d-1} $.
• 관계 $ \widehat{\overline{\gamma_D}} = \int_{S^{d-1}} |\widehat{I_D}(\rho\xi)|^2 d\xi $ 를 사용하여 회전 평균과 분산을 연결한다.
• 수렴성과 渐近 평균 행동을 보장하기 위해 조건 $ \rho^{d+1} \widehat{\overline{\gamma_D}}(\rho) \in L^\infty(\mathbb{R}^+) $ 을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 집합 $ D \subset \mathbb{R}^d $ 에 어떤 조건이 성립할 경우, 무작위 위치에서의 $ rD $ 에서 격자점 수의 분산이 $ r^{d-1} $ 으로 渐近적으로 증가하는가?
• RQ2 집합 $ D $ 의 푸리에 변환의 회전 제곱 평균이 격자점 수의 분산에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 경계가 조각별 $ C^2 $ 또는 볼록일 경우, 분산의 정확한 渐近 형태는 무엇인가?
• RQ4 $ C_{\mathbf{T}} $ 와 표면 측도 $ H^{d-1}(\partial D) $ 를 사용하여 분산을 표현할 수 있는가?
• RQ5 타우버형 방법을 통해 분산의 渐近 분산을 유도할 때 등방성 공분산함수 $ \overline{\gamma_D} $ 는 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 무작위 위치와 회전을 가진 $ rD $ 에서 격자점 수의 분산은 $ C_{\mathbf{T}} H^{d-1}(\partial D) \Phi(r) r^{d-1} $ 의 형태로 渐近적으로 나타나며, 여기서 $ \Phi(r) $ 는 $ \lim_{t\to\infty} \frac{1}{t} \int_0^t \Phi(s) ds = 1 $ 을 만족한다.
• 만약 $ \rho^{d+1} \widehat{\overline{\gamma_D}}(\rho) $ 가 유계이면, $ \Phi(r) $ 도 유계이면서 $ \limsup_{r\to\infty} \Phi(r) \leq 2 $ 를 만족한다.
• 만약 $ \lim_{\rho\to\infty} \rho^{d+1} \widehat{\overline{\gamma_D}}(\rho) $ 가 존재하면, $ \lim_{r\to\infty} \Phi(r) = 1 $ 이 되어 정확한 渐近 형태 $ \sim C_{\mathbf{T}} H^{d-1}(\partial D) r^{d-1} $ 를 얻는다.
• 조건 $ \int_{S^{d-1}} |\widehat{I_D}(\rho\xi)|^2 d\xi = O(\rho^{-d-1}) $ 가 $ \rho \to \infty $ 일 때 성립하면, $ r^{d-1} $ 의 渐近 성질이 성립한다.
• 이 결과는 경계가 조각별 $ C^2 $ 이거나 $ d $ 차원 볼록 집합인 컴팩트한 몸체에 대해 성립하며, 이러한 집합들은 필요한 푸리에 감쇠 조건을 만족한다.
• 격자 상수 $ C_{\mathbf{T}} = \frac{1}{2\pi^2 d \kappa_d} \sum_{0 \neq n \in \mathbb{Z}^d} |A^{-1}n|^{-d-1} $ 는 격자 기하학적 특성에 대한 의존성을 정량화한다.