[논문 리뷰] An efficient mass lumping scheme for isogeometric analysis based on approximate dual basis functions

Susanne Held, Sascha Eisenträger외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 06. 21.

Advanced Numerical Analysis Techniques인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이sovolumetric 분석(IGA)에서 근사 쌍대 기저 함수(AD)와 역 그램矩阵 기반 쌍대 함수(IG)를 시험 함수로 사용하여 고차수 수렴 성질을 가진 질량 루프화 방법을 제안한다. 전역 연산자를 통한 시스템 변환을 통해 일관된 질량 행렬을 대각형으로 변환함으로써 표준 행합 루프화보다 높은 정확도를 확보하며, 이는 계산 비용을 감소시키고 안정성을 유지하는 효율적인 명시적 동적 시뮬레이션을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this contribution, we provide a new mass lumping scheme for explicit dynamics in isogeometric analysis (IGA). To this end, an element formulation based on the idea of dual functionals is developed. Non-Uniform Rational B-splines (NURBS) are applied as shape functions and their corresponding dual basis functions are applied as test functions in the variational form, where two kinds of dual basis functions are compared. The first type are approximate dual basis functions (AD) with varying degree of reproduction, resulting in banded mass matrices. Dual basis functions derived from the inversion of the Gram matrix (IG) are the second type and already yield diagonal mass matrices. We will show that it is possible to apply the dual scheme as a transformation of the resulting system of equations based on NURBS as shape and test functions. Hence, it can be easily implemented into existing IGA routines. Treating the application of dual test functions as preconditioner reduces the additional computational effort, but it cannot entirely erase it and the density of the stiffness matrix still remains higher than in standard Bubnov-Galerkin formulations. In return applying additional row-sum lumping to the mass matrices is either not necessary for IG or the caused loss of accuracy is lowered to a reasonable magnitude in the case of AD. Numerical examples show a significantly better approximation of the dynamic behavior for the dual lumping scheme compared to standard NURBS approaches making use of row-sum lumping. Applying IG yields accurate numerical results without additional lumping. But as result of the global support of the IG dual basis functions, fully populated stiffness matrices occur, which are entirely unsuitable for explicit dynamic simulations. Combining AD and row-sum lumping leads to an efficient computation regarding effort and accuracy.

연구 동기 및 목표

• 명시적 동역학에서 전통적인 행합 질량 루프화 방법의 비효율성을 해결하기 위해.
• 이중 기저 함수를 사용하여 고차수 수렴 성질을 가진 질량 루프화 방법을 개발하여 정확도와 계산 효율성을 향상시키기 위해.
• 기존 IGA 코드에 쉽게 통합할 수 있도록 전역 변환 연산자를 통해 구현 오버헤드를 최소화하기 위해.
• 두 가지 유형의 이중 기저 함수인 근사 쌍대(AD)와 역 그램矩阵(IG)의 성능을 분석하고 비교하기 위해.

제안 방법

• NURBS를 형상 함수로 사용하고 이중 기저 함수를 시험 함수로 사용하여 IGA에서 이중 시험 함수 기반 변분 형식을 수립한다.
• 두 가지 유형의 이중 기저 함수를 도입한다: 조절 가능한 재생 순서를 가진 근사 쌍대(AD)와 그램 행렬의 역행렬을 통해 유도된 역 그램矩阵(IG).
• 일관된 질량 행렬을 대각형으로 변환하기 위해 변환 연산자를 적용하여 효율적인 시간 적분을 가능하게 한다.
• 조직화된 적분 규칙을 사용하여 조립 비용을 줄이면서도 정확도를 유지한다.
• AD 기반 질량 행렬에 대해 행합 루프화를 적용하여 대각형으로 변환하며, 대각선 우세한 행렬의 구조 덕분에 정확도 손실 최소화를 달성한다.
• 이를 블랙박스 연산으로 구현하여 기존 IGA 솔버에 핵심 조립 루틴을 수정하지 않고도 쉽게 통합할 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 기저 함수를 사용하여 IGA에서 표준 행합 루프화보다 정확도와 효율성이 뛰어난 명시적 동역학을 위한 질량 루프화 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이중 기저 함수 유형의 선택(AD 대비 IG)이 강성 및 질량 행렬의 희박성, 대각선 너비 및 계산 비용에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 AD 함수의 재생 차수는 정확도와 계산 성능에 어느 정도의 영향을 미치는가?
• RQ4 제안된 방법은 기존 IGA 코드에 최소한의 수정으로 구현 가능할 수 있으며, 정확도를 유지하면서 더 빠른 시간 적분을 가능하게 하는가?
• RQ5 AD 이중 기저 함수와 행합 루프화의 조합이 명시적 동적 시뮬레이션에 대해 안정적이고 정확하며 계산적으로 효율적인 수식을 제공하는가?

주요 결과

• 제안된 이중 루프화 방법은 Loma Prieta 지진 시뮬레이션을 통해 고차수 NURBS(p = 2에서 5)에서 기존의 행합 루프화 방법보다 동적 반응 정확도에서 뚜렷한 우수성을 보였다.
• 최대 재생 순서(q = p)를 가진 근사 쌍대(AD) 함수는 가장 높은 정확도를 달성하며, 대각선 우세한 질량 행렬을 유지함으로써 추가 행합 루프화로 인한 오차를 최소화한다.
• 역 그램矩阵(IG) 이중 기저 함수는 일관된 대각형 질량 행렬을 생성하며 완전한 재생 능력을 갖추고 있어 일관된 수식과 동일한 정확도를 달성하지만, 강성 행렬이 완전히 흐린 형태로 인해 명시적 동역학에 부적합하다.
• AD 기반 방법의 계산 비용은 표준 Bubnov-Galerkin보다 높은 대역폭으로 인해 증가하지만, 대각형 질량 행렬 덕분에 시간 적분 속도 향상으로 인해 이에 비해 유리하다.
• 시간 측정 결과에 따르면 AD 루프화 방법은 일관된 수식보다 더 효율적이며, 대각형 질량 행렬의 이점이 구현 오버헤드를 상쇄한다.
• 이 방법은 블랙박스 변환으로 구현 가능하여 기존 IGA 코드에 핵심 조립 루틴을 수정하지 않고도 쉽게 통합할 수 있다.