[논문 리뷰] An efficient method to construct self-dual cyclic codes of length $p^s$ over $\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$

Yuan Cao, Yonglin Cao외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Coding theory and cryptography참고 문헌 14인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 유한 체 고리 $\mathbb{F}_{p^m} + u\mathbb{F}_{p^m}$ ($u^2 = 0$) 위에서 길이 $p^s$인 모든 서로 다른 자기쌍대 순환 코드에 대한 효율적이고 명시적인 구성 방법을 제시한다. 이는 이항계수의 조합 항등식과 $\mathbb{F}_p$ 위의 행렬의 크로네커乘법을 사용한다. 주요 기여는 이러한 코드의 완전한 특성화 및 수량화이며, 이는 이전 연구에서 순환 코드의 정의 시스템에 대한 명시적 해 표현이 부족했던 점을 해결한다.

ABSTRACT

Let $p$ be an odd prime number, $\mathbb{F}_{p^m}$ be a finite field of cardinality $p^m$ and $s$ a positive integer. Using some combinatorial identities, we obtain certain properties for Kronecker product of matrices over $\mathbb{F}_p$ with a specific type. On that basis, we give an explicit representation and enumeration for all distinct self-dual cyclic codes of length $p^s$ over the finite chain ring $\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$ $(u^2=0)$. Moreover, We provide an efficient method to construct every self-dual cyclic code of length $p^s$ over $\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$ precisely.

연구 동기 및 목표

• 유한 체 고리 $\mathbb{F}_{p^m} + u\mathbb{F}_{p^m}$ ($u^2 = 0$) 위에서 길이 $p^s$인 모든 서로 다른 자기쌍대 순환 코드에 대한 명시적 표현과 수량화를 제공하는 것.
• 자기쌍대 순환 코드의 생성 구조를 결정하는 시스템 $M(p^s, i_1)\mathbf{h} = \mathbf{0}$에 대한 명시적 해 구성이 이전 연구에서 해결되지 않은 채 남아 있었던 문제를 해결하는 것.
• 간접적인 수량 세기나 비구성적 존재 증명에 의존하지 않고, 길이 $p^s$인 모든 자기쌍대 순환 코드를 정확히 구성할 수 있는 효율적이고 체계적인 방법을 개발하는 것.
• 특정 행렬의 크로네커乘법을 기반으로 한 새로운 대수적 프레임워크를 제공하여 유한 체 고리 위 자기쌍대 코드에 대한 이해를 확장하는 것.
• 향후 자기쌍대 반순환 코드 및 동일한 고리 위에서의 최소 거리에 대한 경계(예: BCH 유사 경계) 연구를 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 자기쌍대 조건에서 유도되는 행렬 $M(p^s, i_1)$의 구조를 분석하기 위해 이항계수를 포함한 조합 항등식을 사용한다.
• 해동계수 $\mathbf{h}$를 체계적으로 생성하기 위해 $\mathbb{F}_p$ 위의 행렬의 크로네커乘법을 새로운 방식으로 적용한다. 여기서 $\mathbf{h}$는 코드 생성자에서 $u$ 계수를 나타낸다.
• 코드 생성자의 매개변수화된 형태인 $\langle (x-1)^{i_0} + u \sum_{j=0}^{i_1-1} h_j (x-1)^j, (x-1)^{i_1} \rangle$를 기반으로 하며, $p^s = i_0 + i_1$이고 계수 $h_j$는 사전에 계산된 크로네커乘법 행렬을 이용한 행렬 곱셈으로 결정된다.
• 행렬을 크로네커乘법 성분으로 분해함으로써 $M(p^s, i_1)\mathbf{h} = \mathbf{0}$의 해 공간을 명시적으로 구성함으로써, 모든 유효한 $\mathbf{h}$를 효율적이고 체계적으로 생성할 수 있다.
• 특정 사례(예: $p=3, m=1, s=3$)에 적용하여 길이 27인 모든 자기쌍대 순환 코드를 구성함을 보여주며, 명시적인 생성자 형태와 매개변수 의존성도 제시한다.
• 이 방법은 임의의 홀수 소수 $p$, 양의 정수 $m$, $s$에 대해 일반적으로 적용 가능하며, 길이 $p^s$인 모든 이러한 코드에 대한 통일된 프레임워크를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 체 고리 $\mathbb{F}_{p^m} + u\mathbb{F}_{p^m}$ ($u^2 = 0$) 위에서 길이 $p^s$인 모든 서로 다른 자기쌍대 순환 코드를 어떻게 명시적으로 표현할 수 있는가?
• RQ2 간접적인 수량 세기 의존 없이, 이러한 모든 자기쌍대 순환 코드를 체계적으로 생성할 수 있는 효율적인 구성 방법은 무엇인가?
• RQ3 자기쌍대 조건을 정의하는 시스템 $M(p^s, i_1)\mathbf{h} = \mathbf{0}$는 모든 $i_1$에 대해 어떻게 명시적으로 해결할 수 있는가?
• RQ4 유한 체 $\mathbb{F}_p$ 위의 행렬의 크로네커乘법을 사용하여 자기쌍대 조건의 해를 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ5 유한 체 고리 $\mathbb{F}_{p^m} + u\mathbb{F}_{p^m}$ 위에서 길이 $p^s$인 자기쌍대 순환 코드의 전체 수량은 무엇이며, 이는 $p$, $m$, $s$에 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 논문은 이전 연구들(예: [6], [10])에서 해결되지 않았던 바, $\mathbb{F}_{p^m} + u\mathbb{F}_{p^m}$ 위에서 길이 $p^s$인 모든 자기쌍대 순환 코드에 대한 완전하고 명시적인 표현을 제공한다.
• $p=3$, $m=1$, $s=3$ (즉, 길이 27)의 경우, 논문은 7개의 서로 다른 자기쌍대 순환 코드를 명시적으로 나열하며, 각 코드는 $i_0 + i_1 = 27$ 조건을 만족하는 형식 $\langle (x-1)^{i_0} + u \sum h_j(x-1)^j, (x-1)^{i_1} \rangle$의 다항식 쌍으로 생성된다.
• $\mathbb{F}_{p^m} + u\mathbb{F}_{p^m}$ 위에서 길이 $p^s$인 자기쌍대 순환 코드의 수는 $\sum_{k=0}^{s} 3^{km}$ 으로 주어지며, 여기서 $k$는 분해 $p^s = i_0 + i_1$에서의 인덱스 $i_1$에 해당하고, 이 수는 $M(p^s, i_1)\mathbf{h} = \mathbf{0}$의 해 공간의 차원에서 유도된다.
• 모든 해 $\mathbf{h}$는 사전에 계산된 크로네커乘법 행렬 $\Upsilon^{(i)}$를 통해 구성되며, 이는 $\mathbb{F}_{p^m}$ 위의 자유 매개변수의 선형 조합으로 $\mathbf{h}$를 표현할 수 있게 한다.
• 이 구성 방법은 효율적이고 체계적이다: 각 $i_1$에 대해 해 공간은 $i_1 - j$개의 자유 매개변수로 매개변수화되며, 생성자 다항식은 이 매개변수들에 대해 명시적으로 기술된다.
• 이 방법은 [6]의 논문에서 $\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 위에서 길이 $2^s$인 자기쌍대 순환 코드의 수에 대한 오류를 수정하며, 수정된 정확한 공식을 제공한다.