[논문 리뷰] An Elementary GIT Construction of the Moduli Space of Stable Maps

Adam E. Parker|ArXiv.org|2006. 04. 05.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 5인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $ℓ\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$의 안정 사상의 모듈리 공간을 기하학적 불변량 이론(GIT)을 이용한 간단한 방법으로 구성한다. 이는 $ℓ\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))$의 GIT 족을 $ℓ\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^1)$로 나눈 것으로, 핵심 결과는 $ℓ\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))^{ss}(\mathcal{L}')/G \cong \overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$의 자연스러운 동형사상이다. 이를 통해 수축 사상은 정규 포함을 沿해 가중 블로업의 연속체로 인식할 수 있다.

ABSTRACT

This paper provides a GIT construction of the Moduli Space of Stable Maps as a GIT quotient of the Graph Space by SL(2,C). As a corollary, we get a birational map from the 0-pointed Moduli Space to a projective variety.

연구 동기 및 목표

• 안정 사상의 모듈리 공간 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$를 스택 이론을 쓰지 않고 간단한 GIT 접근법으로 구성하기.
• 모듈리 공간 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$, $\overline{M}_{0,n}$, 그리고 플럿턴-맥퍼슨 공간 $\mathbb{P}^1[n]$의 구성들을 하나의 프레임워크 안에서 통합하기.
• 중간 모듈리 공간들을 거쳐 가는 $\bar{\phi}$라는 비유계 사상으로부터 $\overline{M}_{0,0}(\mathbb{P}^r,d)$에서 유도된 몫 공간으로의 비유계 사상 제공.
• 공간이 다양체로서 매끄럽지 않더라도, 가중 블로업의 연속체를 통해 카우 추론을 계산할 수 있도록 하기.

제안 방법

• $((\mathbb{P}^1)^n \times \mathbb{P}_d^r)$의 기저점 없음 영역에서 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))$을 GIT 족으로 구성하기.
• $((\mathbb{P}^1)^n \times \mathbb{P}_d^r)$ 위에 선형화된 선다발 $\mathcal{L}$을 정의하여, 그 반안정 영역이 안정 영역과 일치하도록 하기.
• 작은 $\epsilon > 0$에 대해 $\mathcal{L}' = \phi^*(\mathcal{L})(-\epsilon E)$로 변형을 도입하며, 여기서 $E$는 $-E$가 $\phi$-편의성인 효과적 다발이다.
• $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))^{ss}(\mathcal{L}')$이 안정 영역과 같고, $(\mathbb{P}^1)^n \times \mathbb{P}_d^r)^{ss}(\mathcal{L})$의 $\phi^{-1}$ 상에 해당함을 보여주기.
• $G = \mathrm{Aut}(\mathbb{P}^1)$로 이 안정 영역의 몫을 취하면, 자연스러운 동형사상에 의해 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$가 얻어짐을 증명하기.
• 중간 공간들을 거쳐 수축 사상 $\phi$를 인식하여, $\bar{\phi}$를 정규 포함을 따라 가중 블로업의 연속체로 표현하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스택 이론을 사용하지 않고, $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$의 모듈리 공간을 간단한 GIT 족으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 중간 모듈리 공간들을 거쳐 가는, $\overline{M}_{0,0}(\mathbb{P}^r,d)$에서 유도된 높은 차원의 모듈리 공간의 몫으로 가는 자연스러운 비유계 사상이 존재하는가? 이는 블로업 분해를 가능하게 하는가?
• RQ3 Givental 수축 사상 $\phi: \overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1)) \to ((\mathbb{P}^1)^n \times \mathbb{P}_d^r)$이 $\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^1)$로 나눈 후, 가중 블로업의 연속체로 분해될 수 있는가?
• RQ4 이 몫 구성은 모듈리 공간의 보편 성질을 유지하며, 안정 사상에 대한 근본 모듈리 공간을 제공하는가?
• RQ5 이 구성 방법을 사용하여 Keel의 블로업 정리에 따라 $\overline{M}_{0,0}(\mathbb{P}^r,d)$의 카우 추론을 계산할 수 있는가?

주요 결과

• $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$는 $G = \mathrm{Aut}(\mathbb{P}^1)$로 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))^{ss}(\mathcal{L}')$의 기하학적 몫과 자연스럽게 동형이다.
• 충분히 작은 $\epsilon > 0$에 대해, 선다발 $\mathcal{L}' = \phi^*(\mathcal{L})(-\epsilon E)$는 편의성 있으며, $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))^{ss}(\mathcal{L}') = \overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))^{s}(\mathcal{L}')$을 만족한다.
• $((\mathbb{P}^1)^n \times \mathbb{P}_d^r)$의 안정 영역은 Givental 수축 사상 $\phi$에 의해 $\overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^1, (d,1))$의 안정 영역으로 올라간다.
• 유도된 사상 $\bar{\phi}: \overline{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d) \to ((\mathbb{P}^1)^n \times \mathbb{P}_d^r)^{ss}(\mathcal{L})/G$는 비유계 준동형사상이다.
• [M]에서의 $\phi$의 분해는 몫으로 옮겨져, $\bar{\phi}$는 정규 포함을 따라 가중 블로업의 연속체로 분해된다.
• $(d,k)^*$-허용 가능한 사상에 대해 $\overline{M}_{0,0}(\mathbb{P}^r,d,k)$의 근본 모듈리 공간이 존재하며, $({\mathbb{P}}_d^r(k))^{s}/\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^1)$로 구성된다.