[논문 리뷰] An equivalence theorem for reduced Fell bundle C*-algebras

Aidan Sims, Dana P. Williams|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 24.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 17인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 군oids 위의 등가인 Fell 번들의 축소 C*-대수 간의 모리타 등가를 캡슐화하는 링킹 군oids 위에 링킹 번들을 구성하여 축소 Fell 번들의 C*-대수 간의 등가 정리를 수립한다. 핵심 결과는 링킹 번들의 축소 C*-대수가 원래 번들의 축소 대수들을 보완하는 전역 부분대수로 포함된다는 것으로, Quigg와 Spielberg의 축소 교환곱에 대한 결과를 Fell 번들의 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

We show that if E is an equivalence of upper semicontinuous Fell bundles B and C over groupoids, then there is a linking bundle L(E) over the linking groupoid L such that the full cross-sectional algebra of L(E) contains those of B and C as complementary full corners, and likewise for reduced cross-sectional algebras. We show how our results generalise to groupoid crossed-products the fact, proved by Quigg and Spielberg, that Raeburn's symmetric imprimitivity theorem passes through the quotient map to reduced crossed products.

연구 동기 및 목표

• Quigg와 Spielberg의 축소 교환곱에 대한 결과를 군oids 위의 Fell 번들의 설정으로 일반화한다.
• Muhly와 Williams가 구성한 전역 Fell 번들의 C*-대수 간의 모리타 등가가 축소 수준으로 내림려는지 확인한다.
• 링킹 군oids 위에 축소 단면대수로 원래 번들의 축소 대수들을 보완하는 전역 부분대수로 포함하는 링킹 번들을 구성한다.
• 축소 등가를 실현하는 불변 이중모듈러가 전역 대수의 Muhly-Williams 이중모듈러의 몫으로서 유도된다는 것을 보인다.

제안 방법

• 군oids $ \mathcal{L} $ 위에 링킹 번들 $ L(\mathscr{E}) = \mathscr{B} \sqcup \mathscr{E} \sqcup \mathscr{E}^{\mathrm{op}} \sqcup \mathscr{C} $ 을 구성하며, 여기서 $ \mathscr{E} $ 는 군oids 위의 Fell 번들 $ \mathscr{B} $ 와 $ \mathscr{C} $ 간의 등가이다.
• _bundle_형태의 곱 연산 $ \mathscr{B} * \mathscr{E} \to \mathscr{E} $ 과 $ \mathscr{E} * \mathscr{C} \to \mathscr{E} $ 를 정의하여 번들의 구조와 호환되며, 섬유들 간의 이sovorphism을 실현하는 불변 이중모듈러로 작용하도록 한다.
• 컴actly 지지된 단면들의 공간 $ \Gamma_c(L; L(\mathscr{E})) $ 에 $ 2 \times 2 $ 블록 대수와 유사한 행렬 분해를 도입하여 링킹 구조를 반영한다.
• 축소 노름이 $ \Gamma_c(L; L(\mathscr{E})) $ 에서 정의된 바, $ \mathscr{B} $ 와 $ \mathscr{C} $ 에 대응하는 부분대수들 위로 축소 노름으로 제한됨을 증명한다.
• 링킹 군oids의 단위에 관련된 투영을 통해 링킹 번들의 축소 단면대수가 $ C^*_r(\mathscr{B}) $ 와 $ C^*_r(\mathscr{C}) $ 를 보완하는 전역 부분대수로 포함됨을 보인다.
• 축소 대수들의 모리타 등가 이중모듈러가 전역 대수의 Muhly-Williams 이중모듈러의 몫으로서, $ \Gamma_c(Z; \mathscr{E}) $ 에서의 항등사상이 노름을 유지하는 방식으로 동형임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Muhly와 Williams가 수립한 전역 Fell 번들의 C*-대수 간의 모리타 등가는 축소 C*-대수로까지 확장되는가?
• RQ2 링킹 군oids 위의 링킹 번들 구성이 등가인 Fell 번들의 축소 단면대수를 보완하는 전역 부분대수로 실현할 수 있는가?
• RQ3 축소 등가를 실현하는 불변 이중모듈러는 전역 이중모듈러의 몫으로 동형인가?
• RQ4 링킹 대수의 축소 노름이 원래 번들의 축소 노름과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 축소 교환곱에 대한 대칭 불변 정리가 얼마나 일반화되어 Fell 번들의 시스템으로까지 확장되는가?

주요 결과

• 링킹 군oids $ \mathcal{L} $ 위의 링킹 번들 $ L(\mathscr{E}) $ 의 단면대수는 $ \Gamma_c(G; \mathscr{B}) $, $ \Gamma_c(Z; \mathscr{E}) $, $ \Gamma_c(Z; \mathscr{E}^{\mathrm{op}}) $, 및 $ \Gamma_c(H; \mathscr{C}) $ 에 값이 있는 $ 2 \times 2 $ 행렬 대수로 분해된다.
• 링킹 번들의 축소 단면대수는 링킹 군oids의 단위에 관련된 투영 $ \mathfrak{p}_G $ 와 $ \mathfrak{p}_H $ 를 통해 $ C^*_r(\mathscr{B}) $ 와 $ C^*_r(\mathscr{C}) $ 를 보완하는 전역 부분대수로 포함된다.
• 축소 대수들의 모리타 등가 이중모듈러는 $ \Gamma_c(Z; \mathscr{E}) $ 의 축소 노름에서의 완비화로 실현되며, 이 완비화는 전역 대수의 Muhly-Williams 이중모듈러의 몫과 동형이다.
• 축소 등가 이중모듈러의 노름은 링킹 대수의 복합 공식에서 유도된 노름과 일치하며, 이는 $ \Gamma_c(Z; \mathscr{E}) $ 에서의 항등사상에 의해 보여진다.
• 결과는 Quigg와 Spielberg의 축소 교환곱에 대한 정리를 Fell 번들의 설정으로 일반화하며, 대칭 불변 정리가 축소 수준으로 내림려는 것을 보여준다.
• 이 구성은 고전적 군oids 등가 그림, 링킹 군oids, 그리고 축소 C*-대수적 구조가 모두 호환되는 통합적 프레임워크를 제공한다.