[논문 리뷰] An equivariant Atiyah-Patodi-Singer index theorem for proper actions

Peter Hochs, Bai‐Ling Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 25.

Advanced Operator Algebra Research인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 쿼티언트 공간이 컴act인 리만다이만포털의 경계를 가진 리만다이만 다양체 위에서의 비가역적, 등급이 같은 작용을 하는 유니모듈라로 국소적으로 컴 pact한 군에 대해, 등급이 같은 아티야-파도리-사이러스 지수 정리를 수립한다. 공액류를 통한 궤적 적분을 통한 추적을 도입하여, 지수 값이 감소 군 C*-대수의 K-이론에 속함을 증명하며, 바움-콘스 지도와 고전적 APS 지수 정리를 일반화한다. 항등원, 다항성장도를 가진 유한생성 이산군의 공액류, 그리고 반단순 리군의 반단순 원소에 대해 정당성이 확인된다.

ABSTRACT

Consider a proper, isometric action by a unimodular locally compact group $G$ on a Riemannian manifold $M$ with boundary, such that $M/G$ is compact. Then an equivariant Dirac type operator on $M$ under a suitable boundary condition has an equivariant index in the $K$-theory of the reduced group $C^*$-algebra $C^*_rG$ of $G$, which is a common generalisation of the Baum-Connes analytic assembly map and the (equivariant) Atiyah-Patodi-Singer index. Using a trace on a suitable subalgebra of $C^*_rG$, defined by the orbital integral over the conjugacy class of an element $g \in G$, we prove an equivariant Atiyah-Patodi-Singer index theorem in this setting. We first state general analytic conditions under which this theorem holds, and then show that these conditions are satisfied if $g=e$ is the identity element; if $G$ is a finitely generated, discrete group, and the conjugacy class of $g$ has polynomial growth; and if $G$ is a connected, linear, real semisimple Lie group, and $g$ is a semisimple element. In the classical case, where $M$ is compact and $G$ is trivial, our arguments reduce to a relatively short and simple proof of the original Atiyah-Patodi-Singer index theorem.

연구 동기 및 목표

• 경계를 가진 다양체 위에서의 적절하고 등급이 같은 군 작용에 대해 아티야-파도리-사이러스 지수 정리를 일반화한다.
• 적절한 경계 조건 하에서 디라크 유형 연산자에 대해 감소 군 C*-대수 $ C^*_rG $ 의 K-이론에 등급이 같은 지수를 정의한다.
• 군 원소의 공액류를 통한 궤적 적분으로 정의된 추적을 사용하여 지수 정리를 수립한다.
• 특정 경우에 대해 지수 정리에 필요한 해석 조건을 검증한다: 항등원, 다항성장도를 가진 이산군의 공액류, 반단순 리군의 반단순 원소.
• 군 $ G $ 가 자명하고 $ M $ 가 컴 pact일 때 고전적 아티야-파도리-사이러스 정리를 특수한 경우로 회복한다.

제안 방법

• 논문은 적절한 경계 조건 하에서 경계를 가진 다양체 위의 디라크 유형 연산자에 대해 $ K_0(C^*_rG) $ 에 등급이 같은 지수를 구성한다.
• 군 원소 $ g \in G $ 의 공액류를 통한 적분을 사용하여 $ C^*_rG $ 의 부분대수 위에 추적을 도입한다.
• 일반적인 해석 조건 하에서 지수 정리를 유도하며, 이 조건은 세 가지 특수한 경우에 대해 검증된다: $ g = e $, 다항성장도를 가진 이산군의 공액류, 연결된 실반단순 리군의 반단순 원소.
• 증명은 감소 군 C*-대수의 구조와 추적의 성질을 이용하여 지수를 군 원소의 궤적 적분과 연결한다.
• 이 토대는 바움-콘스 해석적 어셈블리 맵과 고전적 등급이 같은 APS 지수 정리를 하나의 지수이론 틀 안에서 통합한다.
• 고전적 경우($ G $ 가 자명하고 $ M $ 가 컴 pact일 때), 이 방법은 원래 아티야-파도리-사이러스 정리에 대한 간결한 증명으로 축소된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쿼티언트 공간이 컴 pact한 경계를 가진 다양체 위에서의 적절하고 등급이 같은 군 작용에 대해 아티야-파도리-사이러스 지수 정리를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 공액류를 통한 궤적 적분이 지수 정리를 가능하게 하는 추적을 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 군 $ G $ 와 원소 $ g \in G $ 가 지수 정리에 필요한 해석 조건을 만족시키는 조건은 무엇인가?
• RQ4 제안된 틀이 바움-콘스 어셈블리 맵과 고전적 APS 지수 정리를 어떻게 통합하는가?
• RQ5 고전적 아티야-파도리-사이러스 정리는 이 일반화된 지수 정리의 특수한 경우로 복원될 수 있는가?

주요 결과

• 적절하고 등급이 같은 군 작용을 하며 쿼티언트 공간이 컴 pact한 경우, 경계를 가진 다양체 위의 디라크 유형 연산자의 등급이 같은 지수는 감소 군 $ C^* $-대수 $ C^*_rG $ 의 K-이론에 속한다.
• 군 원소 $ g \in G $ 의 공액류를 통한 궤적 적분으로 정의된 추적을 사용하여 지수 정리를 수립하였으며, 이는 유니모듈라로 국소적으로 컴 pact한 군에 대해 잘 정의된다.
• 지수 정리에 필요한 해석 조건은 $ g = e $, 항등원일 때 성립한다.
• 유한생성 이산군의 경우, 원소 $ g $ 의 공액류가 다항성장도를 가질 때 조건이 성립한다.
• 연결된 선형 실반단순 리군의 경우, 원소 $ g $ 가 반단순일 때 조건이 성립한다.
• 고전적 경우—$ G $ 가 자명하고 $ M $ 가 컴 pact일 때—이 방법은 원래 아티야-파도리-사이러스 지수 정리에 대한 간결한 증명을 제공한다.