[논문 리뷰] An example elucidating the mathematical situation in the statistical non-uniqueness problem of turbulence

Michael Frewer|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 27.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows참고 문헌 26인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 나비에-스토크스 난류의 다중점 상관 함수 방정식들로 이루어진 무한한 프리드만-켈러 계층이 그 전방 순환적 구조 덕분에, 모든 방정식을 형식적으로 고려하더라도 유일한 일반 해가 존재하지 않음을 입증한다. 낮은 차원의 ODE 모의 실험과 리 군 불변성 분석을 통해, 어떤 초기 조건과도 호환되는 무한히 많은 기능적으로 다른 동치 변환을 체계가 수용함을 보이며, 이는 불변 해가 추가 모델링 가정 없이도 임의적이며 유일하지 않음을 의미한다.

ABSTRACT

An instructive example is presented to elucidate the mathematical situation in the non-uniqueness problem of the infinite Friedmann-Keller hierarchy of equations for all multi-point moments within the theory of spatially unbounded Navier-Stokes turbulence. It is shown that the non-uniqueness problem of the Friedmann-Keller hierarchy emerges from the property that the system of equations is defined forward recursively. As a result, this system does not possess a unique general solution, even when the complete infinite system is formally considered. That is, even when imposing a sufficient number of initial conditions to this infinite system, it still does not provide a unique solution. This finding is supported by a Lie-group invariance analysis, in that the imposed example analogous to the Friedmann-Keller hierarchy admits an unclosed Lie algebra which allows for infinitely many functionally different equivalence transformations which all can be made compatible with any specifically chosen initial condition. Hence, if no prior modelling assumptions are made to close the Friedmann-Keller system of equations, the existence of an invariant solution within such a forward recursively defined system is then without value, since it just represents an arbitrary solution among infinitely many other, equally privileged invariant solutions.

연구 동기 및 목표

• 난류에 대한 다중점 상관 함수 방정식의 무한한 프리드만-켈러 계층에서 비유일성의 수학적 근본 원인을 규명하는 것.
• 모든 무한 방정식과 초기 조건이 고려되더라도, 그 전방 순환적 구조로 인해 시스템이 여전히 부족한 결정을 갖는다는 것을 입증하는 것.
• 리 군 불변성 분석을 통해 비폐쇄적인 대수를 드러내어, 어떤 초기 조건과도 호환되는 무한히 많은 동치 변환을 체계가 수용한다는 것을 보여주는 것.
• 이러한 체계에서 불변 해가 물리적으로 특별한 의미를 지니지 못하는 이유를 명확히 하는 것, 즉 그들은 무한히 많은 기능적으로 다른 해들 중 하나일 뿐이라는 점.
• 비유일성 문제의 근본 원인이 잘라내기나 수치 근사의 결과가 아니라, 계층의 전방 순환적 순서에 기인한다는 것을 확립하는 것.

제안 방법

• 핵심 수학적 문제를 분리하고 분석하기 위해 프리드만-켈러 계층의 낮은 차원 ODE 모의를 구성하는 것.
• x에 대한 적분을 통해 모멘트 생성을 통해 고차원 PDE(u_t = u_xx - λx²u)로부터 무한한 결합 ODE 시스템을 유도하는 것.
• 초기 조건을 u_n(0) = ∫xⁿφ(x)dx로 설정하여, φ(x)를 정규화된 초기 함수로 정의함으로써 코시 문제를 정의하는 것.
• 리 군 불변성 분석을 ODE 시스템에 적용하여, 체계의 비폐쇄성으로 인해 대칭성이 동치 변환으로서 식별되는 것을 확인하는 것.
• 각 방정식이 더 고차 모멘트에 의존하는 전방 순환적 구조로 인해 유일한 해를 결정할 수 없음을 보여주는 것.
• 횡방향 필드 표현과 극한 과정(예: x_{n+1} → x_k)을 사용하여 저차원 모멘트와 압력-속도 상관관계를 정의함으로써 계층의 구조를 유지하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한한 프리드만-켈러 계층의 다중점 상관 함수 방정식이, 모든 방정식을 형식적으로 포함하더라도 왜 유일한 해를 생성하지 못하는가?
• RQ2 모멘트 계층 프레임워크 내에서 난류의 통계적 기술에 대한 비유일성의 수학적 근본 원인은 무엇인가?
• RQ3 고차 모멘트가 후속 방정식에만 나타나는 전방 순환적 순서(즉, 높은 차수의 모멘트가 나중 방정식에만 등장함)가 비유일성으로 이르는 방식은 무엇인가?
• RQ4 리 군 불변성 분석은 비폐쇄 시스템인 프리드만-켈러 계층과 같은 체계의 구조적 결함을 드러낼 수 있는가?
• RQ5 무한히 많은 기능적으로 다른 해들이 존재하는 바에 걸려, 이러한 체계에서 불변 해가 왜 물리적으로 의미가 없는가?

주요 결과

• 무한한 프리드만-켈러 계층은 그 전방 순환적 구조로 인해 본질적으로 비유일성이며, 모든 방정식을 형식적으로 고려하더라도 유일한 일반 해가 존재하지 않는다.
• 완전한 초깃값 집합이 존재하더라도, 전방 순환적 성격으로 인해 시스템은 여전히 결정이 불충분하며, 이는 기능적으로 다른 해가 무한히 존재할 수 있음을 의미한다.
• 리 군 불변성 분석은 비폐쇄적인 리 대수를 드러내어, 어떤 주어진 초깃값과도 호환되는 무한히 많은 동치 변환을 체계가 수용함을 보여준다.
• 따라서 불변 해의 존재는 물리적 가치가 없으며, 그들은 무한히 많은 기능적으로 다른 해들 중 하나일 뿐이다.
• 비유일성 문제의 근본 원인은 잘라내기나 수치 근사의 결과가 아니라, 모멘트 계층의 전방 순환적 순서에 기인한다.
• 계층의 역순환적 순서(후방 순환)로 바꾸면 비유일성 문제가 사라지며, 이는 문제가 오직 순환 방향에 기인함을 확인한다.