[논문 리뷰] An Example of non-quenched Convergence in the Conditional CLT for Discrete Fourier Transforms

David Barrera|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 20.

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한 줄 요약

이 논문은 정(stationary) 확률과정에서 초기 시그마-필드 위에 직교 프로젝션을 하지 않은 채로 이산 푸리에 변환에 대한 쿼런치드 중심극한정리(quenched CLT)가 일반적으로 성립하지 않음을 보여준다. 기존에 알려진 쿼런치드 CLT의 조건을 만족하더라도 그렇다. 볼니(Volný)와 우드루프의 방법을 기반으로 한 반례를 구성함으로써, 저자들은 조건부 기대값이 √n에 대해 무한히 증가할 수 있음을 보여, 조건부 수렴(quenched convergence)이 성립하지 않음을 입증한다. 이는 여전히 평균화된 수렴(annealed convergence)은 성립함을 시사한다.

ABSTRACT

A recent result by Barrera and Peligrad shows that the quenched Central Limit Theorem holds for the discrete Fourier transforms (DFT) of a stationary process in $L^2$ if a "random" centering is used. In this note we show that this is a necessary condition by providing an example of a process satisfying the hypothesis of such theorem for which the DFT, without random centering, do not satisfy a quenched limit theorem. The DFT of this process, by previous results by Peligrad and Wu, satisfy the corresponding CLT in the annealed sense.

연구 동기 및 목표

• 이산 푸리에 변환에 대한 쿼런치드 중심극한정리가 초기 시그마-필드 위에 직교 프로젝션을 하지 않은 상태에서도 유지되는지 조사하기 위해.
• 기존 연구에서 알려진 평균화된 수렴 결과가 동일한 설정에서 쿼런치드 수렴을 유도하는지 판단하기 위해.
• 기존에 알려진 쿼런치드 CLT의 가정을 만족하나 쿼런치드 중심극한정리가 실패하는 반례를 구성하기 위해.
• 이산 푸리에 변환의 정(stationary) 과정에 대해 쿼런치드 수렴을 보장하는 데 있어 직교 프로젝션의 역할을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 볼니와 우드루프의 방법을 사용하여 특정 혼합성과 의존성 구조를 가진 정과정을 구성함으로써 반례를 생성하기 위해.
• θ ∈ (0,2π) 에 대해 이산 푸리에 변환 $ S_n(\theta) = \sum_{k=0}^{n-1} e^{ik\theta} X_k $ 를 정의하고, 그 조건부 기대값 $ E_0 S_n(\theta) $ 를 분석하기 위해.
• 마팅게일 근사 기법과 선형과정의 성질을 활용하여 $ \frac{|E_0 S_n(\theta)|}{\sqrt{n}} $ 의 渐近적 행동을 분석하기 위해.
• 볼로-칸텔리 보조정리와 모멘트 한계를 적용하여 $ \limsup_{n} \frac{|E_0 S_n(\theta)|}{\sqrt{n}} = \infty \ \mathbb{P}\text{-a.s.} $ 임을 보여, 쿼런치드 수렴의 위반을 입증하기 위해.
• 유형 수렴 정리와 조건부 기대값의 성질을 활용하여 퇴화한 극한 분포를 배제하기 위해.
• 기존 연구에서 알려진 바와 같이, 평균화된 수렴은 성립하나, 거의 모든 $ \omega $ 에 대해 $ \mathbb{P}_\omega $ 하에서 $ \frac{1}{\sqrt{n}} S_n(\theta) $ 의 조건부 분포가 약수렴하지 않음을 입증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산 푸리에 변환에 대한 쿼런치드 중심극한정리가 초기 시그마-필드 위에 직교 프로젝션을 하지 않은 상태에서도 성립하는가?
• RQ2 프로젝션 없이도 바라와 펠리그라드의 쿼런치드 중심극한정리의 가정을 만족하는 과정이, 프로젝션 없이도 이산 푸리에 변환의 쿼런치드 수렴을 실패할 수 있는가?
• RQ3 쿼런치드 중심극한정리의 조건을 만족하는 정과정에서 $ \frac{|E_0 S_n(\theta)|}{\sqrt{n}} $ 의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ4 평균화된 수렴이 성립함에도 불구하고, 직교 프로젝션 없이 쿼런치드 수렴에 본질적인 장애가 존재하는가?
• RQ5 조건부 기대값 $ E_0 S_n(\theta) $ 가 $ \sqrt{n} $ 보다 더 빠르게 증가하여 쿼런치드 수렴을 방해할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 [1]의 정리 1의 가정을 만족하는 정과정을 구성하였으며, 이는 정규 조건부 기대값과 초기 시그마-필드에 대한 $ L^2 $-직교성 포함된다.
• 이 과정에서 $ \limsup_{n} \frac{|E_0 S_n(\theta)|}{\sqrt{n}} = \infty \ \mathbb{P}\text{-a.s.} $ 임을 보였으며, 이는 프로젝션 없이도 이산 푸리에 변환에 대해 쿼런치드 중심극한정리가 실패함을 의미한다.
• 쿼런치드 수렴의 실패는 조건부 기대값이 $ \sqrt{n} $ 에 비해 무한히 증가함으로써 발생한다. 이는 평균화된 중심극한정리가 성립함에도 불구하고 그렇다.
• 반례는 조건부 기대값 항목이 정규화에 지배적으로 작용하도록 하기 위해 계수 $ a_k $ 와 블록 크기 $ n_k $ 를 정교하게 구성한 데 기반한다.
• 결과적으로, 이산 푸리에 변환의 중심극한정리에서 쿼런치드 수렴을 보장하기 위해 직교 프로젝션의 필요성이 확인된다.
• 분석은 평균화된 수렴만으로는 쿼런치드 수렴이 유도되지 않음을 확인한다. 이는 강한 혼합성과 정규성 조건이 존재하더라도 마찬가지다.