[论文解读] An Extended Galerkin Analysis for Linear Elasticity with Strongly Symmetric Stress Tensor.

Qingguo Hong, Jun Hu+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 40被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于强对称应力张量、位移及其单元边界校正的统一四场Galerkin弱形式，用于线性弹性力学。该方法统一并扩展了不连续、非协调与协调Galerkin方法，证明了在所有离散空间和稳定化参数下一致的inf-sup条件，并表明当稳定化参数增大时，该方法收敛于混合Galerkin方法。

ABSTRACT

This paper presents an extended Galerkin analysis for various Galerkin methods of the linear elasticity problem. The analysis is based on a unified Galerkin discretization formulation for the linear elasticity problem consisting of four discretization variables: strong symmetric stress tensor $\boldsymbol \sigma_h$, displacement $u_h$ inside each element and the modifications of these two variables $\check \boldsymbol \sigma_h$ and $\check u_h$ on elementary boundaries. Motivated by many relevant methods in literature, this formulation can be used to derive most existing discontinuous, nonconforming and conforming Galerkin methods for linear elasticity problem and especially to develop a number of new discontinuous Galerkin methods. Many special cases of this four-field formulation are proved to be hybridizable and can be reduced to some known hybridizable discontinuous Galerkin, weak Galerkin and local discontinuous Galerkin methods by eliminating one or two of the four fields. As certain stabilization parameter tends to infinity, this four-field formulation is proved to converge to some conforming and nonconforming mixed methods for linear elasticity problem. Two families of inf-sup conditions, one known as $H^1$-philic and another known as H(div)-phillic, are proved to be uniformly valid with respect to different choices of discrete spaces and parameters. These inf-sup conditions guarantee the well-posedness of the new proposed formulations and also offer a new and unified analysis for many existing methods in literature as a by-product.

研究动机与目标

• 将现有的不连续、非协调与协调Galerkin方法统一为一个单一的变分弱形式。
• 通过系统化的四场离散化方法，发展新型不连续Galerkin方法。
• 在不同离散空间和稳定化参数下，建立一致的inf-sup条件，确保问题的适定性。
• 在稳定化参数趋于无穷大的极限下，证明该方法收敛于已知的协调与非协调混合Galerkin方法。
• 提供一个统一的分析框架，以解释并扩展文献中已有的方法。

提出的方法

• 采用强对称应力张量 $\boldsymbol{\sigma}_h$、位移 $u_h$ 及其边界校正 $\check{\boldsymbol{\sigma}}_h$ 和 $\check{u}_h$，构建四场Galerkin方法。
• 基于该四场系统推导线性弹性力学问题的弱形式，实现在单元间的一致离散化。
• 应用两种不同的inf-sup条件——$H^1$-友好型与$H(\text{div})$-友好型——并证明其在所有离散空间和参数下均一致有效。
• 通过消除一个或两个场，证明混合可解的、弱Galerkin的以及局部不连续Galerkin方法可作为该框架的特例。
• 分析当稳定化参数趋于无穷大时的收敛行为，表明该方法收敛于混合Galerkin方法。
• 利用统一框架推导并分析新型不连续Galerkin格式，其具有可证明的稳定性和收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以通过单一变分弱形式统一现有用于线性弹性力学的不连续、非协调与协调Galerkin方法？
• RQ2 在不同离散空间和参数下，确保四场Galerkin弱形式适定性的条件是什么？
• RQ3 所提出的这些方法与已知的混合可解不连续Galerkin、弱Galerkin及局部不连续Galerkin方法有何关系？
• RQ4 当稳定化参数趋于无穷大时，该弱形式的行为如何？是否收敛于已知的混合Galerkin方法？
• RQ5 在此框架内，能否为$H^1$-友好型与$H(\text{div})$-友好型弱形式均建立一致的inf-sup条件？

主要发现

• 四场弱形式在单一框架下统一了包括不连续、非协调与协调格式在内的广泛Galerkin方法类别。
• 证明了两族inf-sup条件——$H^1$-友好型与$H(\text{div})$-友好型——在所有离散空间选择和稳定化参数下均一致有效。
• 通过消除一个或两个场，该弱形式可退化为已知的混合可解不连续Galerkin、弱Galerkin与局部不连续Galerkin方法。
• 当稳定化参数趋于无穷大时，该弱形式收敛于线性弹性力学的协调与非协调混合Galerkin方法。
• 统一的分析为理解与扩展文献中已有的Galerkin方法提供了新的理论基础。
• 该框架可系统地推导出具有保证稳定性和收敛性的新型不连续Galerkin方法。