[论文解读] Finite element approximations of symmetric tensors on simplicial grids in Rn: the lower order case

Jun Hu, Shangyou Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 24被引用 9

一句话总结

本文提出了一种在 $ℝ^n$ 中的单纯形网格上统一构建对称张量低阶有限元空间的方法，通过在 $(n-1)$-维单纯形上增强 $H(\operatorname{div})-P_k$ 空间以引入 $H(\operatorname{div})-P_{n+1}$ 泡沫函数。该方法实现了最优收敛率，并将自由度减少至 2D 中的 18+3 和 3D 中的 48+6——优于以往记录的 21+3 和 156+6——同时通过统一的、无需微分形式的方法确保了稳定性。

ABSTRACT

In this paper, we construct, in a unified fashion, lower order finite element subspaces of spaces of symmetric tensors with square-integrable divergence on a domain in any dimension. These subspaces are essentially the symmetric H(div)-Pk (1=

研究动机与目标

• 在任意维度的单纯形网格上，为对称张量场的混合弱形式构造稳定且符合要求的有限元空间。
• 与现有构造相比，减少 2D 和 3D 中一阶混合有限元的自由度数量。
• 为一阶系统提供统一的、无需微分形式的辅助混合有限元族构造方法。
• 通过在 $(n-1)$-维面上增强 $H(\operatorname{div})-P_k$ 空间以引入 $H(\operatorname{div})-P_{n+1}$ 泡沫函数，确保离散 inf-sup 条件成立。

提出的方法

• 将 $H(\operatorname{div},\Omega;\mathbb{S})$-符合的有限元空间构造为在每个 $(n-1)$-维单纯形上增强 $H(\operatorname{div})-P_k$ 空间以引入 $H(\operatorname{div})-P_{n+1}$ 泡沫函数。
• 当 $1 \leq k \leq n-1$ 时，每个 $(n-1)$-单纯形上增强 $\frac{(n+1)n}{2}$ 个泡沫函数；当 $k=n$ 时，使用 $\frac{(n-1)n}{2}$ 个此类函数。
• 采用统一框架推导辅助混合有限元族，无需依赖微分形式。
• 通过泡沫增强控制分段刚性运动空间，确保离散 inf-sup 条件成立，从而保证稳定性。
• 将该方法应用于对称张量问题的混合弱形式，将增强后的对称张量空间与不连续的 $P_{k-1}$ 多项式空间配对用于位移变量。
• 通过在单位正方形上使用精确解进行收敛性研究，对方法进行数值验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $\mathbb{R}^n$ 中的单纯形网格上，不使用微分形式，统一构造对称张量的低阶有限元空间？
• RQ2 在单纯形网格上，2D 和 3D 中一阶混合有限元所需的最小自由度数量是多少？
• RQ3 如何为使用低阶多项式形状函数的 $H(\operatorname{div})$-符合对称张量空间满足离散 inf-sup 条件？
• RQ4 该构造能否推广为包含已知示例（如 Raviart-Thomas 和 Arnold-Winther 元素）在内的辅助混合有限元族？

主要发现

• 所提方法将一阶混合有限元的每个单元总自由度减少至 2D 中的 18 + 3 和 3D 中的 48 + 6，优于以往记录的 21 + 3 和 156 + 6。
• 数值测试确认，位移和应力在 $L^2$-范数下的收敛率为 $h^2$，应力的误差散度也达到 $h^2$ 阶收敛，符合最优收敛率。
• 使用每个单元 21 个自由度的 Arnold–Winther 元素仅实现位移和应力的 $h^1$ 阶收敛，而新元素使用每个单元 18 个自由度，实现了 $h^2$ 阶收敛，原因在于使用了完整的 $P_1$ 位移空间。
• 泡沫增强通过控制刚性运动空间，确保了离散 inf-sup 条件成立，从而实现了无需依赖微分形式的稳定混合弱形式。
• 该方法生成了一类统一的辅助混合有限元族，其中包含 Raviart–Thomas（1D）、Arnold–Winther（2D）和 Arnold–Awanou–Winther（3D）元素作为特例。
• 数值结果证实，新元素实现了最优收敛率，且在精度和收敛阶次上均优于 Arnold–Winther 元素，尽管计算复杂度相近。