[논문 리뷰] An extension of a theorem of Kesten to topological Markov chains

Manuel Stadlbauer|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 13.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 위상적 마르코프 체인의 군 확장을 고려하여 케스텐의 군의 애매성과 스펙트럼 반경 정리의 결과를 확장한다. 군의 애매성이 약간의 연속성과 대칭성 조건 하에서 확장체와 기저 체계의 구레비치 압력이 동일함을 보이고, 호일더 연속성과 큰 영상/역영역 조건 하에서는 그 역도 성립함을 보인다. 이는 주기적인 하이퍼볼릭 다양체에 응용된다.

ABSTRACT

The main results of this note extend a theorem of Kesten for symmetric random walks on discrete groups to group extensions of topological Markov chains. In contrast to the result in probability theory, there is a notable asymmetry in the assumptions on the base. That is, it turns out that, under very mild assumptions on the continuity and symmetry of the associated potential, amenability of the group im- plies that the Gureviy of the extension and the base coincide whereas the converse holds true if the potential is Holder continuous and the topological Markov chain has big images and preimages. Finally, an application to periodic hyperbolic manifolds is given. MSC 2000. 37A50, 37C30, 20F69 1 Introduction and statement of main results The motivation for the analysis of the change of pressure under group extensions stems from the attempt to relate two classical results from probability theory and geometry on the amenability of discrete groups. The probabilistic result was obtained by Kesten in (11) and characterises amenability in terms of the spectral radius of the Markov operator associated to a symmetric random walk, that is a group G is amenable if and only if the spectral radius of the operator acting on l 2 (G) is equal to 1. The following counterpart in geometry was discovered by Brooks ((3)) using a completely different method. Assume that G is a Kleinian group acting on hyperbolic space H n+1 with exponent of convergence δ(G) bigger than n/2 and that N ⊳G is a normal subgroup. Then the bottoms of the spectra of the Laplacians on H/G and H/N are equal if and only if G/N is amenable. Or

연구 동기 및 목표

• 이산 군 위에서 대칭적인 랜덤 워크에 대한 케스텐의 스펙트럼 반경 특성화를 군 확장을 고려한 위상적 마르코프 체인으로 일반화한다.
• 군의 애매성과 확장된 시스템의 구레비치 압력 간의 관계를 조사한다.
• 확장체와 기저 시스템의 구레비치 압력이 일치하는 조건을 규명한다.
• 결과의 정방향과 역방향 간에 가정의 비대칭성을 규명한다.
• 결과를 기하학적 맥락, 특히 주기적인 하이퍼볼릭 다양체에 적용한다.

제안 방법

• 군 값 전이를 갖는 위상적 마르코프 체인 이론을 활용하여 군을 갖는 전이를 가진 동역학계를 모델링한다.
• 잠재력 이론과 압력 함수, 특히 구레비치 압력을 적용하여 시스템의 스펙트럼 성질을 분석한다.
• 압력 함수의 정규성을 확보하기 위해 잠재력에 연속성과 대칭성 조건을 도입한다.
• 잠재력의 호일더 연속성과 위상적 마르코프 체인이 큰 영상과 역영역을 갖는 조건을 활용하여 결과의 역방향을 확립한다.
• 기하군 이론과 라플라스 연산자의 스펙트럼 이론 결과를 활용하여 브룩스 정리와의 연결 고리를 설정한다.
• 군 확장을 프레임워크로 활용하여 기저 시스템의 역학과 확장된 시스템의 압력 및 스펙트럼 성질 간의 관계를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군의 애매성이 기저 체계와 확장 체계의 구레비치 압력이 동일함을 보장하는 데 어떤 조건을 필요로 하는가?
• RQ2 반대로, 동일한 압력이 군의 애매성임을 보장하기 위해 추가로 어떤 가정이 필요한가?
• RQ3 두 방향 간의 가정 비대칭성은 결과의 적용 가능성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 이 동역학적 결과는 하이퍼볼릭 공간을 포함한 어떤 기하학적 맥락에서 적용될 수 있는가?
• RQ5 호일더 연속성과 큰 영상/역영역 성질은 역방향에서의 압력 비교에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 군의 애매성이 성립할 경우, 잠재력에 대한 약간의 연속성과 대칭성 조건 하에서 확장체와 기저 체계의 구레비치 압력이 동일하다.
• 반대로, 동일한 구레비치 압력이 군의 애매성임을 보장하는 것은 잠재력이 호일더 연속이며 위상적 마르코프 체인이 큰 영상과 역영역을 갖는 조건에서 성립한다.
• 결과는 두 방향 간의 가정 비대칭성이 두드러져 고전적 확률 이론 결과와 구별된다.
• 이 프레임워크는 케스텐의 스펙트럼 반경 정리를 위상적 마르코프 체인의 군 확장 설정으로 성공적으로 확장한다.
• 주기적인 하이퍼볼릭 다양체에 대한 적용 사례가 제공되며, 이는 동역학적 압력 결과를 기하군 이론과 연결한다.
• 압력 및 스펙트럼 분석을 통해 라플라스 연산자의 스펙트럼 하부에 대한 브룩스 정리와의 연결 고리가 확립된다.