[논문 리뷰] An extension of the functional Ito formula under a family of non-dominated measures

Harald Oberhauser|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 06.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비경로연속적 기능적 함수에 대해 연속 반마르티니갈의 가족에 대해 비우세한 확률 측도 하에서 기능적 이토 공식을 광범위한 클래스로 확장한다. 비경로적 적분과 인과적 도함수를 활용하여, 보조 과정을 도입하지 않고도 경로에 따라 정의된 이토 유사 분해를 수립함으로써, 변동성 스왑과 모델 불확실성 하에서의 스토크래틱 적분과 같은 복잡한 경로 의존 금융 파생상품에의 응용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Motivated by questions arising in financial mathematics, Dupire introduced a notion of smoothness for functionals of paths (different from the usual Fréchet--Gatéaux derivatives) and arrived at a generalization of Itō's formula applicable to functionals which have a pathwise continuous dependence on the trajectories of the underlying process. We study nonlinear functionals which do not have such pathwise continuity and further work simultaneously under the family of continuous semimartingale measures on path-space. We do this without introducing a second component, as carried out by Cont--Fournie but by using old work of Bichteler which allows to keep a pathwise picture even for complex functionals

연구 동기 및 목표

• 금융 수학에서 경로연속적이지 않은 함수에 대해 기능적 이토 공식을 일반화하기 위해.
• 모델 불확실성 하에서 복잡하고 비로버스트 함수, 예를 들어 이차 변동도와 도레앙-다드 지수 함수를 처리하기 위해.
• 컨트-푸르니에의 접근 방식처럼 보조 과정을 도입하지 않고도 경로 기반 해석을 유지하기 위해.
• 경로 기반 미분법과 오직 불변성에 대해 정의된 확률적 구성 간의 조화를 이루기 위해.
• 비우세한 측도 하에서 금융공 ing에서 비선형 SPDE 유도를 위한 통합 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 확률 측도 없이도 스트로크 적분을 정의하기 위해 비처러의 경로 기반 확률적 적분을 사용한다.
• 두프레의 인과적 도함수—시간 도함수 ∂₀F, 공간 도함수 ∇F, 라플라스 연산자 ΔF—를 경로 공간 위의 적응 과정으로 적용한다.
• 연속 반마르티니갈 측도의 가족 M_c^semi가 있는 càdlàg 경로의 표준 공간에서 작업한다.
• F ∈ C¹,² 라고 정의하여, 각 P ∈ M_c^semi 하에서 경로 기반으로 다음 이토 유사 분해가 성립한다: Ft − F₀ = ∫(∂₀F + ½ΔF)dr + ∫∇F dX.
• 비처러–쿠니타–마이어 분해를 통해 경로 기반 적분과 이토 과정 간의 불변성을 확립한다.
• 이 프레임워크를 사용하여 국소 변동성 모델 하에서 변동성 스왑 및 기타 경로 의존적 상품에 대한 SPDE를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보조 과정을 도입하지 않고도 비경로연속적 함수에 대해 기능적 이토 공식을 확장할 수 있는가?
• RQ2 경로 기반 확률적 미분법은 오직 불변성에 대해 정의된 확률적 구성과 어떻게 조화를 이룰 수 있는가?
• RQ3 모델 불확실성 하에서 복잡한 경로 의존 함수의 역동성을 기술하는 데 있어 인과적 도함수의 역할은 무엇인가?
• RQ4 이토 공식은 비우세한 설정 하에서 이차 변동도와 스토크래틱 지수 과정에 적용될 수 있는가?
• RQ5 ∂₀F + ½ΔF 의 유일성 부재는 감마-스테이프 트레이드오프와 같은 금융 리스크 지표와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 비우세한 연속 반마르티니갈 측도의 가족 하에서, 경로연속적이지 않은 광범위한 C¹,² 함수에 대해 기능적 이토 공식이 확장된다.
• F가 경로에 대해 연속적이지 않더라도, 각 P ∈ M_c^semi 하에서 경로 기반으로 다음 분해가 성립한다: Ft − F₀ = ∫(∂₀F + ½ΔF)dr + ∫∇F dX.
• 각 P ∈ M_c^semi 하에서, ∫σ_{r−}·dX_r 형태의 스트로크 적분은 비처러 이론에 의해 정의된 경로 기반 적분과 불변하다.
• F가 경로연속적이지 않더라도, 인과적 도함수 ∂₀F, ∇F, ΔF 는 적응 과정으로서 유일하게 정의된다.
• 변동성 스왑의 경우, 국소 변동성 모델 하에서 이 공식은 포물형 SPDE를 유도한다: ∂v/∂t + (σ²/2)∂²v/∂x² = −σ², 종료 조건 v(T, x) = 0.
• 이 프레임워크는 비우세한 측도 하에서 복잡한 파생상품에 대한 비선형 SPDE 도출을 가능하게 하며, 비우세한 측도 하에서 가격 설정과 헤지에의 적용이 가능하다.