[논문 리뷰] An improved upper bound on the length of the longest cycle of a supercritical random graph

Graeme Kemkes, Nicholas Wormald|ArXiv.org|2009. 07. 20.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $n^{2/3} = o(s)$ 이고 $s = o(n)$ 인 조건에서 초임계(random graph) $χ(n,M)$ 에서 가장 긴 사이클의 길이에 대한 상한을 향상시킨다. $M = n/2 + s$ 이며, 커널 및 코어 구조를 커널 구성 모델과 간선 무게 분포를 이용해 분석함으로써, 둘레에 대한 점근적으로 거의 확실한 상한 $(6.958 + o(1))s^2/n$ 을 확립한다. 이는 Łuczak의 이전 상한 $(7.496 + o(1))s^2/n$ 을 개선한 것이다.

ABSTRACT

We improve Luczak's upper bounds on the length of the longest cycle in the random graph G(n,M) in the "supercritical phase" where M=n/2+s and s=o(n) but n^{2/3}=o(s). The new upper bound is (6.958+o(1))s^2/n with probability 1-o(1) as n approaches infinity. Letting c=1+2s/n, the equivalence between G(n,p) and G(n,M) implies the same result for G(n,p) where p=c/n, c approaching 1, c-1 = omega(n^{-1/3}).

연구 동기 및 목표

• 초임계 랜덤 그래프 $\mathcal{G}(n,M)$ 에서 둘레(가장 긴 사이클 길이)에 대한 상한을 개선하는 것.
• 동일한 영역에서 Łuczak의 이전 상한 $(7.496 + o(1))s^2/n$ 을 향상시키는 것.
• 커널 구성 모델을 사용하여 $\mathcal{G}(n,M)$ 의 커널 및 코어의 구조적 성질을 분석하는 것.
• 랜덤 간선 무게를 가진 가짜 그래프(pseudograph)에서 가장 무거운 사이클의 무게에 대한 더 좁은 농도 경계를 유도하는 것.
• 둘레가 점근적으로 거의 확실하게 $(6.958 + o(1))s^2/n$ 이하임을 확립하는 것.

제안 방법

• 초임계 영역에서 $\mathcal{G}(n,M)$ 의 코어 및 커널의 무작위 구조를 모델링하기 위해 커널 구성 모델을 사용한다.
• 코어 재구성 과정에서 각 간선당 삽입되는 차수 2 정점의 수를 나타내는 무작위 간선 무게를 커널에 할당한다.
• 간선 무게의 점근적 분포를 분석하여, 유한 집합의 무게들이 독립적인 지수 분포와 유사하게 행동함을 보인다.
• 농도 부등식을 적용하여, 유한 부분집합의 무게에 대한 함수 합이 기대값 주위에 집중됨을 보인다.
• 랜덤 간선 무게를 가진 가짜 그래프에서 최대 사이클 무게를 유계로 둘 수 있도록 $k$-가능성 조건을 사용한다.
• 프리커널 및 코어의 구조적 결과와 확률적 경계를 조합하여 둘레에 대한 최종 상한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초임계 랜덤 그래프 $\mathcal{G}(n,M)$ 에서 가장 긴 사이클의 길이에 대한 점근적으로 가능한 가장 날카로운 상한은 무엇인가? ($M = n/2 + s$)
• RQ2 초임계 랜덤 그래프 $\mathcal{G}(n,M)$ 의 커널에서 간선 무게는 점근적으로 어떻게 행동하는가? 그리고 이는 사이클 길이를 유계로 둘 수 있는가?
• RQ3 커널 구성 모델을 활용하여 Łuczak의 상한 $(7.496 + o(1))s^2/n$ 을 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 가짜 그래프에서 최대 사이클 무게를 유계로 둘 때 $k$-가능성 조건의 역할은 무엇인가?
• RQ5 코어 및 프리커널의 구조적 성질은 $\mathcal{G}(n,M)$ 에서 가장 긴 사이클의 길이를 얼마나 제약하는가?

주요 결과

• 조건 $M = n/2 + s$, $n^{2/3} = o(s)$, $s = o(n)$ 에서 $\mathcal{G}(n,M)$ 의 둘레는 점근적으로 거의 확실하게 $(6.958 + o(1))s^2/n$ 이하이다.
• 개선된 상한은 커널 구성 모델을 분석하고, 무작위 간선 무게를 가진 가짜 그래프에서 최대 사이클 무게가 정점 수의 $8c^*$ 배 이하임을 보여서 도출된다. 여기서 $c^* = 0.8697$ 이다.
• 저자들은 $c^* = 0.8697$ 이 $k=9$ 에 대해 $k$-가능함을 증명하여, 최종 상한 $(8 \times 0.8697 + o(1))s^2/n = (6.958 + o(1))s^2/n$ 을 이끌어낸다.
• 코어는 둘레 길이 추정에 있어 무시할 만한 정도의 $o(s^2/n)$ 개의 차수 2 정점을 포함하며, 이를 제거하여 프리커널을 형성할 수 있음을 보였다.
• 프리커널 $G$ 의 차수 수열은 점근적으로 거의 확실하게, 정점 수, 간선 수, 3정점 차수 합에 대한 농도 조건을 만족하는 집합 $D$ 에 포함된다.
• 프리커널의 둘레가 $c^* v({\bf d})$ 이하일 확률은 $1 + o(1)$ 이며, 이는 $v({\bf d}) \sim 8s^2/n$ 과 조합되어 최종 상한을 이끈다.