[논문 리뷰] An Index for 2D field theories with large N=4 superconformal symmetry

Sergei Gukov, Emil J. Martinec외 2명|ArXiv.org|2004. 04. 02.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 32인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 대칭성의 크기가 큰 ${\cal N}=4$ 초등온가역 대칭을 가진 2차원 양자장 이론에 대한 새로운 인덱스를 도입하며, ${\cal N}=2$ 이론의 타원형 군수를 일반화한다. 이 인덱스는 대칭성을 유지하는 변형에 대해 불변이며, 비-BPS 스펙트럼을 제약한다. 대칭적 제품 이론의 생성함수에 작용하는 헤케 연산자를 통해 계산되며, $\gcd(Q_1, Q_5) > 1$일 경우 기존의 대칭적 제품에 존재하지 않는 새로운 상태, 특히 질량이 0인 상태를 드러낸다.

ABSTRACT

We consider families of theories with large N=4 superconformal symmetry. We define an index generalizing the elliptic genus of theories with N=2 symmetry. In contrast to the N=2 case, the new index constrains part of the non-BPS spectrum. Motivated by aspects of the AdS/CFT correspondence we study the index in the examples of symmetric product theories. We give a physical interpretation of the Hecke operators which appear in the expressions for partition functions of such theories. Finally, we compute the index for a nontrivial example of a symmetric product theory.

연구 동기 및 목표

• 대칭성의 크기가 큰 ${\cal N}=4$ 초등온가역 대칭을 가진 2차원 장 이론에 대한 새로운 인덱스를 정의하고, ${\cal N}=2$ 이론의 타원형 군수를 일반화한다.
• AdS/CFT 이론과 매트릭스 스트링 이론에 기반하여 대칭적 제품 오르비폭포 공건설에 따른 이 인덱스의 행동을 연구한다.
• 대칭적 제품 이론 내에서 '짧은 스트링'과 '긴 스트링' 연산자에 대한 의미로 헤케 연산자의 물리적 해석을 제공한다.
• 예를 들어 ${\rm Sym}^N({\cal S})$와 같이 비트리비얼한 예시에 대해 인덱스를 명시적으로 계산한다. 여기서 ${\cal S}$는 가장 단순한 ${\cal N}=4$ 이론이다.
• 반복된 대칭적 제품에서 $\gcd(Q_1, Q_5) > 1$일 경우 나타나는 새로운 질량이 0인 상태를 식별하고 특성화한다. 이는 표준 대칭적 제품에는 존재하지 않는다.

제안 방법

• 대칭성의 크기가 큰 ${\cal N}=4$ SCFT에 대해, $\theta$ 함수와 모듈라 성질을 사용하여 ${\cal A}_\gamma$ 대칭을 유지하는 변형에 대해 불변인 새로운 인덱스를 정의한다.
• 식 (4.6)을 사용하여, 시드 이론 ${\cal C}_0$의 생성함수의 헤케 변환으로 대칭적 제품 이론 ${\rm Sym}^N({\cal C}_0)$의 인덱스를 표현한다.
• 헤케 연산자 항등식 $T_{p^{r_1}}T_{p^{r_2}} = \sum_{k=0}^{\min(r_1,r_2)} \frac{1}{p^k} T_{p^{r_1+r_2-2k}} W_{p^k}$을 사용하여 반복적 대칭적 제품과 표준 대칭적 제품을 비교한다.
• 항 $T_{p^{r-2k}} Z_0(\tau, z_\pm^{p^k})$의 평가를 통해 ${\rm Sym}^{Q_1}{\rm Sym}^{Q_5}({\cal S})$와 ${\rm Sym}^{Q_1 Q_5}({\cal S})$ 사이의 차이를 분석한다.
• 스펙트럴 플로우와 모듈라 변환을 적용하여 NS 섹터 내 질량이 0인 상태를 분류하고, 형태 $\bigoplus_{\alpha+\beta = a-1} (\cdots)$를 갖는 상태를 식별한다. 여기서 $a = p^{r-k-\delta}$이다.
• 두 가족의 $n_0$과 $m$에 대한 명시적 해를 사용하여 공약수가 아닌 $Q_1, Q_5$에 의해 유도되는 비자명한 상태의 수를 세며, 이들이 초구성물 상태가 아니라는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타원형 군수는 대칭성의 크기가 큰 ${\cal N}=4$ 초등온가역 대칭을 가진 이론으로 어떻게 일반화될 수 있으며, 어떤 새로운 불변량이 도출되는가?
• RQ2 대칭적 제품 이론에서 ${\cal N}=4$ 대칭을 가진 맥락에서 헤케 연산자의 물리적 해석은 무엇인가?
• RQ3 왜 $\gcd(Q_1, Q_5) > 1$일 때 반복된 대칭적 제품 ${\rm Sym}^{Q_1}{\rm Sym}^{Q_5}({\cal S})$와 표준 대칭적 제품 ${\rm Sym}^{Q_1 Q_5}({\cal S})$가 다르며, 어떤 새로운 상태가 나타나는가?
• RQ4 새로운 인덱스로 제약되는 비-BPS 스펙트럼의 구조는 무엇이며, ${\cal N}=2$ 경우와 어떻게 다를까?
• RQ5 반복된 대칭적 제품의 스펙트럼에서 발견된 새로운 질량이 0인 상태는 물리적으로 실현 가능한가(예: 초구성물 상태가 아님을 확인), 그리고 어떻게 세는가?

주요 결과

• 대칭성의 크기가 큰 ${\cal N}=4$ SCFT에 대한 새로운 인덱스는 해석적 함수가 아니며 단지 BPS 상태를 세는 데서 넘어서 비-BPS 스펙트럼에 더 강력한 제약을 가한다. 이는 ${\cal N}=2$ 타원형 군수보다 더 강력하다.
• 대칭적 제품 이론 ${\rm Sym}^N({\cal C}_0)$의 인덱스는 식 (4.6)에 의해 시드 이론의 생성함수의 헤케 변환으로 주어진다.
• 만약 $Q_1$과 $Q_5$가 서로소가 아니면, 반복된 대칭적 제품 ${\rm Sym}^{Q_1}{\rm Sym}^{Q_5}({\cal S})$는 표준 대칭적 제품 ${\rm Sym}^{Q_1 Q_5}({\cal S})$에 존재하지 않는 추가적인 질량이 0인 상태를 포함한다. 이는 $T_{p^{r_1}}T_{p^{r_2}}Z_0 - T_{p^r}Z_0$의 차이로 나타난다.
• 만약 $Q_1 = Q_5 = p$이면, 유일한 추가 상태는 $m = n_0 = 0$인 상태이며, 이는 다중체 $\bigoplus_{\alpha+\beta = p-1} \left(\frac{\alpha+1}{2}, \frac{\beta+1}{2}; \frac{\alpha+1}{2}, \frac{\beta+1}{2}\right)_R$를 이룬다. 스펙트럴 플로우를 거친 후에는 $\bigoplus_{\beta=0}^{p-1} \left(\frac{p(p-1)-\beta}{2}, \frac{\beta}{2}; \cdots \right)_{\rm NS}$ 형태로 나타난다.
• 이러한 추가 상태는 $N = Q_1 Q_5$의 비자명한 인수분해에서 기인하며, $p=2$일 경우 이러한 상태가 존재하지 않음을 통해 초구성물 상태가 아님을 확인할 수 있다.
• 추가 상태의 스펙트럼은 $s$, $\delta$, $k$로 매개변수화된 두 가족의 $n_0$과 $m$에 대한 해를 통해 세어지며, 여기서 $k$는 $1$에서 $\min(r_1, r_2)$까지, $\delta$는 $0$에서 $r - 2k$까지 범위를 가진다.