[논문 리뷰] An index theorem for families invariant with respect to a bundle of Lie groups

Victor Nistor|ArXiv.org|1999. 06. 28.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 32인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 단순 연결된 비가환 리 군의 볼록 다발에 의한 자유 작용을 보존하는 타원형 연산자 가족에 대한 인덱스 정리를 수립한다. 비가환 기하학과 페도소프의 곱을 이용하여, 아티야-식딩 유형의 공식을 통해 동치 가족 인덱스의 카르탕 특성자를 계산하고 국소 인덱스 공식을 도출하며, 매개변수 의존성 있는 미분형 연산자로의 결과 확장과 K-이론에서의 고차 에타 불린의 구축을 수행한다.

ABSTRACT

We define the equivariant family index of a family of elliptic operators invariant with respect to the free action of a bundle $\GR$ of Lie groups. If the fibers of $\GR o B$ are simply-connected solvable, we then compute the Chern character of the (equivariant family) index, the result being given by an Atiyah-Singer type formula. We also study traces on the corresponding algebras of pseudodifferential operators and obtain a local index formula for such families of invariant operators, using the Fedosov product. For topologically non-trivial bundles we have to use methods of non-commutative geometry. We discuss then as an application the construction of ``higher-eta invariants,'' which are morphisms $K_n(\PsS {\infty}Y) o \CC$. The algebras of invariant pseudodifferential operators that we study, $\Psm {\infty}Y$ and $\PsS {\infty}Y$, are generalizations of ``parameter dependent'' algebras of pseudodifferential operators (with parameter in $\RR^q$), so our results provide also an index theorem for elliptic, parameter dependent pseudodifferential operators.

연구 동기 및 목표

• 타원형 연산자 가족의 군 다발에 의한 불변성에 기반한 동치 가족 인덱스를 정의하고 계산한다.
• 단순 연결된 비가환 리 군 다발에 의해 표현되는 대칭성을 갖는 가족에 대해 아티야-식딩 인덱스 공식을 확장한다.
• 불변 미분형 연산자 대수에서 페도소프의 곱을 사용하여 국소 인덱스 공식을 개발한다.
• 불변 미분형 연산자 대수의 K-이론에서 복소수로의 사상으로서 고차 에타 불린을 구축한다.
• 매개변수 의존성 있는 미분형 연산자 대수의 일반화를 수행하고, 이러한 가족에 대한 인덱스 정리를 증명한다.

제안 방법

• 기저 공간 B 위의 섬유 다발 위에서 리 군 다발의 작용을 이용하여 동치 가족 인덱스를 정의한다.
• 단순 연결된 비가환 리 군의 섬유 성질에 기반하여, 인덱스의 카르탕 특성자는 아티야-식딩 유형의 공식을 통해 계산된다.
• 고전적 방법이 실패하는 위상적으로 비자명한 다발을 다루기 위해 비가환 기하학 기법을 활용한다.
• 불변 미분형 연산자 대수에 대한 국소 인덱스 공식을 구축하기 위해 페도소프의 곱을 사용한다.
• $\PsS^\infty Y$ 및 $\Psm^\infty Y$ 대수는 매개변수 의존성 있는 미분형 연산자 대수의 일반화로 도입된다.
• 개발된 인덱스 이론을 바탕으로 $K_n(\PsS^\infty Y)$ 위에서 복소수로의 사상으로서 고차 에타 불린을 추적을 통해 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리 군 다발에 의한 불변성 조건을 갖는 타원형 연산자 가족에 대해 동치 가족 인덱스는 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 리 군 섬유가 단순 연결되고 비가환일 경우, 동치 가족 인덱스의 카르탕 특성자는 무엇인가?
• RQ3 페도소프의 곱을 사용하여 불변 미분형 연산자에 대한 국소 인덱스 공식을 유도할 수 있는가?
• RQ4 비자명한 위상적 다발은 불변 가족의 인덱스 이론에 어떤 영향을 미치며, 이를 다루기 위해 어떤 도구가 필요한가?
• RQ5 이 인덱스 이론은 K-이론에서 고차 에타 불린을 구축하는 데 어떤 함의를 지닌다?

주요 결과

• 단순 연결된 비가환 리 군 다발에 의한 불변성 조건을 갖는 가족에 대해, 동치 가족 인덱스의 카르탕 특성자는 아티야-식딩 유형의 공식을 통해 계산된다.
• 페도소프의 곱을 사용하여 $\PsS^\infty Y$ 및 $\Psm^\infty Y$ 대수에 대해 국소 인덱스 공식이 확립된다.
• 결과는 매개변수 의존성 있는 미분형 연산자로 일반화되어, 해당 설정에서의 인덱스 정리가 확장된다.
• 고차 에타 불린은 $K_n(\PsS^\infty Y) \to \mathbb{C}$ 형태의 사상으로서 구축되며, K-이론에서 새로운 불변량을 제공한다.
• 비가환 기하학 기법은 고전적 접근이 실패하는 위상적으로 비자명한 다발을 다루는 데 필수적이다.