[논문 리뷰] An Inexact Feasible Interior Point Method for Linear Optimization with High Adaptability to Quantum Computers

Mohammadhossein Mohammadisiahroudi, Ramin Fakhimi외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 26.

Advanced Optimization Algorithms ResearchMathematics인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 선형 최적화를 위한 비정확 타당 내점법(Inexact Feasible Interior Point Method, IF-IPM)을 제안하며, 새로운 수직 공간 시스템(Orthogonal Spaces System, OSS)을 통해 비정확하지만 타당한 뉴턴 단계를 생성함으로써 양자 선형 시스템 알고리즘(QLSAs)과 효율적으로 통합할 수 있도록 한다. 이 방법은 $\tilde{\mathcal{O}}(n^{2.5}L\tilde{\nu}^2\tilde{\nu}^5)$의 시간 복잡도를 달성하여 이전의 양자 IPM을 능가하고, 고전적 IPM의 복잡도와도 일치하며, 반복적 보정 기법을 통해 조건수 증가와 해법 오차를 완화한다.

ABSTRACT

The use of quantum computing to accelerate complex optimization problems is a burgeoning research field. This paper applies Quantum Linear System Algorithms (QLSAs) to Newton systems within Interior Point Methods (IPMs) to take advantage of quantum speedup in solving Linear Optimization (LO) problems. Due to their inexact nature, QLSAs can be applied only to inexact variants of IPMs. Existing IPMs with inexact Newton directions are infeasible methods due to the inexact nature of their computations. This paper proposes an Inexact-Feasible IPM (IF-IPM) for LO problems, using a novel linear system to generate inexact but feasible steps. We show that this method has $\Ocal(\sqrt{n}L)$ iteration complexity, analogous to the best exact IPMs, where $n$ is the number of variables and $L$ is the binary length of the input data. Moreover, we examine how QLSAs can efficiently solve the proposed system in an iterative refinement (IR) scheme to find the exact solution without excessive calls to QLSAs. We show that the proposed IR-IF-IPM can also be helpful to mitigate the impact of the condition number when a classical iterative method, such as a Conjugate Gradient method or a quantum solver is used at iterations of IPMs. After applying the proposed IF-IPM to the self-dual embedding formulation, we investigate the proposed IF-IPM's efficiency using the QISKIT simulator of QLSA.

연구 동기 및 목표

• 비정확한 뉴턴 단계를 사용할 때에도 타당성을 유지하는 타당 IPM 변종을 개발하여 기존의 비정확 비타당 IPM의 한계를 극복한다.
• IPM에 대한 비정확하지만 타당한 탐색 방향을 생성하는 새로운 선형 시스템(수직 공간 시스템)을 설계한다.
• 뉴턴 시스템이 잘 조절되어 있고 반복적 보정에 적합하도록 하여 QLSA와의 효율적 통합을 가능하게 한다.
• 반복 복잡도를 $\tilde{\mathcal{O}}(\tilde{\nu}L)$로 달성하여 최고의 고전적 IPM과 동일하게 하되, 비정확한 해법에서도 타당성을 유지한다.
• 반복적 보정 기법을 통해 조건수 증가와 QLSA 오차의 영향을 완화한다. 이는 양자 및 고전적 환경 모두에서 적용된다.

제안 방법

• 수직 공간 시스템(OSS)을 제안하여, 탐색 방향을 수직 부분공간에 투영함으로써 비정확한 해도 타당성을 유지하도록 보장한다.
• OSS 시스템을 대칭적이고 희소한 선형 시스템으로 공식화하여, 비정확한 해를 사용할 경우에도 원-쌍대 타당성을 유지한다.
• OSS 시스템을 타당 IPM 프레임워크에 통합하여, 모든 반복값이 타당 영역 내부에 머무르도록 보장한다.
• 양자 선형 시스템 알고리즘(QLSAs)을 사용하여 OSS 시스템을 양자 가속 IPM 내에서 해석함으로써 선형 시스템 해법의 양자 가속 효과를 활용한다.
• 반복적 보정(IR) 기법을 도입하여 조건수 증가와 QLSA 오차를 보완하기 위해 저정밀도 해를 기반으로 QIPM을 재초기화한다.
• IF-IPM을 고전적 반복적 해법(예: 켤레 기울기법)과 결합하여 강건성을 향상시키고 고정밀도 양자 또는 고전적 해법에 대한 의존도를 감소시킨다.

Figure 1: The effect of linear system solver error on the number of iterations of the self-dual embedding IF-IPM.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 비정확 비타당 IPM과 달리, 비정확한 뉴턴 단계를 사용할 경우에도 반복값의 타당성을 유지할 수 있는 비정확 IPM을 설계할 수 있는가?
• RQ2 제안된 수직 공간 시스템(OSS)이 표준 대안인 정규 방정식 또는 증강 시스템보다 더 우수한 조건수를 가지는가?
• RQ3 타당 IPM 프레임워크 내에서 QLSA를 효과적으로 사용할 수 있는가, 수렴성이나 타당성에 영향을 주지 않는가?
• RQ4 반복적 보정이 양자 가속 IPM에서 증가하는 조건수와 QLSA 오차의 영향을 상당히 감소시키는가?
• RQ5 QLSAs 또는 고전적 반복적 해법과 결합했을 때 제안된 IF-IPM의 이론적 시간 복잡도는 무엇이며, 기존의 양자 및 고전적 IPM과 비교해 볼 때 어떤가?

주요 결과

• 제안된 IF-IPM는 비정확한 해를 사용함에도 불구하고 $\tilde{\mathcal{O}}(\tilde{\nu}L)$의 반복 복잡도를 달성하여 최고의 고전적 IPM과 동일한 성능을 보인다.
• 수직 공간 시스템(OSS)의 조건수는 $\tilde{\nu}^{-1}$의 속도로 증가하며, 정규 방정식 및 증강 시스템의 $\tilde{\nu}^{-1}$ 속도보다 느리게 증가하여 비정확한 해법에서 더 안정적이다.
• 실험 결과는 OSS 시스템이 잘 조절된 문제, 불량 조건 문제, 탈선 문제에서 정규 방정식 및 증강 시스템보다 더 나은 조건수를 유지하고 타당성을 보존함을 확인한다.
• 반복적 보정은 뉴턴 시스템의 조건수 증가를 효과적으로 완화하여 저정밀도 QLSA 또는 고전적 해법을 사용해도 수렴성에 손상이 가지 않도록 한다.
• 제안된 IR-IF-QIPM는 $\tilde{\mathcal{O}}_{n,\tilde{\nu}_Q,\tilde{\nu},\tilde{\nu}^0,L}(n^{2.5}L\tilde{\nu}_Q^2\tilde{\nu}^5)$의 시간 복잡도를 달성하며, 이는 IR-II-QIPM를 능가하고 수렴 가능한 양자 IPM 중 최고의 복잡도이다.
• 고전적 켤레 기울기법을 사용하는 IR-IF-IPM는 $\tilde{\mathcal{O}}_{\tilde{\nu}^0,L}(n^{2.5}L\tilde{\nu}_Q\tilde{\nu}^2)$의 복잡도를 달성하여, $n$과 조건수에 대한 의존도 면에서 고전적 IPM을 능가한다.

(a) The smallest singular value of matrix $A^{\prime}$