[논문 리뷰] An infinite dimensional Schur-Horn theorem and majorization theory with applications to operator ideals

Victor Kaftal, Gary Weiss|ArXiv.org|2007. 10. 30.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 20인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고전적인 슈어-혼 정리를 무한차원 설정으로 확장하여, 주어진 고유값 수열과 대각 수열을 가진 양의 컴act 연산자가 존재하는지를 특징짓는 데 무한 대조 조건을 사용한다. 핵심 결과는 감소하는 비summable 수열이 0으로 수렴할 경우, 그러한 연산자가 존재하는 것은 고유값 수열에 대해 대각 수열이 무한 대조 관계로 주어질 때이며, 이는 대응하는 직교 스토하스틱 행렬을 통해 고유값 수열에 작용한 결과로 대각 수열이 얻어질 때와 동치임을 보여준다.

ABSTRACT

The main result of this paper is the extension of the Schur-Horn Theorem to infinite sequences: For two nonincreasing nonsummable sequences x and y that converge to 0, there exists a compact operator A with eigenvalue list y and diagonal sequence x if and only if y majorizes x (\sum_{j=1}^n x_j \le \sum_{j=1}^n y_j for all n) if and only if x = Qy for some orthostochastic matrix Q. The similar result requiring equality of the infinite series in the case that the sequences x and y are summable is an extension of a recent theorem by Arveson and Kadison. Our proof depends on the construction and analysis of an infinite product of T-transform matrices. Further results on majorization for infinite sequences providing "intermediate" sequences generalize known results from the finite case. Majorization properties and invariance under various classes of stochastic matrices are then used to characterize arithmetic mean closed operator ideals.

연구 동기 및 목표

• 양의 컴팩트 연산자의 유한차원 슈어-혼 정리를 무한차원 고유값 및 대각 수열로 확장한다.
• 특히 비summable 및 summable 케이스에서 이러한 연산자의 존재를 무한 대조 조건을 사용하여 특징짓는다.
• 대조 이론, 스 tochastic 행렬(특히 직교 스토하스틱) 및 산술 평균 닫힘 연산자 이상의 구조 간의 연결 고리를 설정한다.
• 유한 대조 결과(예: 중간 수열 정리 및 尾 대조)를 무한 수열으로 일반화한다.
• 일부 클래스의 스 tochastic 행렬에 대해 불변인 연산자 이상을 특징짓고, 이를 산술 평균 닫힘과 연결한다.

제안 방법

• 필요한 연산자 대각 수열을 고유값 수열에서 유도하기 위해 T-변환 행렬의 무한 곱을 도입하고 분석한다.
• 무한 수열에 대한 새로운 대조 관계를 정의하고 사용한다: 대조($\xi \prec \eta$), 강한 대조($\xi \preccurlyeq \eta$), 블록 대조($\xi \prec_b \eta$), 무한 대조($\xi \prec_\infty \eta$).
• 유한 이중 스 tochastic 행렬을 순열 행렬의 볼록 조합으로 표현하는 빙크호프 정리를 사용한 후 이를 무한 블록 스 tochastic 행렬으로 확장한다.
• 모든 $t_k > 0$, $\sum t_k = 1$, $P_k$ 가 유한 이중 스 tochastic 행렬인 $P = \bigoplus_k t_k P_k$ 형태의 블록 스 tochastic 행렬을 구성하여 무한차원 스 tochastic 작용을 모델링한다.
• 직교 스토하스틱 행렬(직교 행렬의 제곱) 이론을 적용하여 무한차원 힐버트 공간에서 자기수반 연산자의 대각-고유값 대응을 특징짓는다.
• 블록 스 tochastic 및 일반 스 tochastic 행렬에 대해 연산자 이상의 불변성을 증명하고, 이를 산술 평균 닫힘과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원에서 주어진 감소하는 고유값 수열 $\eta$ 와 감소하는 대각 수열 $\xi$ 를 가진 양의 컴팩트 연산자가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 고유값 수열과 대각 수열이 비summable이고 0으로 수렴할 경우, 고전적인 슈어-혼 정리를 어떻게 무한 수열으로 일반화할 수 있는가?
• RQ3 무한차원 힐버트 공간에서 자기수반 연산자의 대각 수열을 특징짓는 데 직교 스토하스틱 행렬이 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ4 특히 강한 대조 및 무한 대조를 포함한 대조 관계는 산술 평균 닫힘 연산자 이상의 구조를 어떻게 특징짓는가?
• RQ5 어떤 조건이 연산자 이상이 블록 스 tochastic 행렬에 대해 불변이 되고, 따라서 am-닫힘임을 보장하는가?

주요 결과

• 감소하는 비summable 수열 $\xi, \eta \in c_0^*$ 가 0으로 수렴할 경우, 고유값 목록이 $\eta$ 이고 대각이 $\xi$ 인 양의 컴팩트 연산자가 존재하는 것은 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\sum_{j=1}^n \xi_j \leq \sum_{j=1}^n \eta_j$ 이며, 즉 $\xi \prec \eta$ 인 것과 동치이다.
• 비슷하게, $\xi, \eta \in (\ell^1)^*$ 인 summable 수열의 경우, $\xi \prec \eta$ 이고 $\sum_{j=1}^\infty \xi_j = \sum_{j=1}^\infty \eta_j$ 이어야만 존재하며, 아르베손과 카디슨의 결과를 확장한다.
• 대각 수열 $\xi$ 가 고유값 수열 $\eta$ 에 대해 직교 스토하스틱 행렬 $Q$ 를 통해 유도될 때, $\xi \prec \eta$ 이며, 이는 유한차원 홀름 정리의 일반화이다.
• 무한 수열에 대해 대조 조건 하에 중간 수열 $\zeta$ 와 $\rho$ 가 존재하여 $\xi \preccurlyeq \zeta \leq \eta$ 이고 $\xi \leq \rho \preccurlyeq \eta$ 를 만족함을 입증한다.
• 블록 스 tochastic 행렬의 클래스 $\mathscr{C}$ 에 대해 불변이면서 소프트-엣지 또는 소프트-컴plement인 연산자 이상은 산술 평균 닫힘임을 보여준다.
• 논문은 $\mathscr{C}$ 에 대해 불변이지만 am-닫힘은 아닌 반례(바르가 이상)를 구성하여, am-닫힘을 보장하기 위해 소프트-엣지 또는 소프트-컴plement 조건이 필수적임을 보여준다.