[논문 리뷰] An interface-unfitted finite element method for elliptic interface optimal control problem

Chao Yang, Tao Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 13.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 보강된 컷 유한요소를 사용한 니츠체 방법을 활용하여 타원형 인터페이스 최적제어 문제를 해결하기 위한 새로운 인터페이스 적합하지 않은 유한요소 방법을 제안한다. 다양한 정규성 가정 하에 상태, 양변, 제어 변수에 대해 $L^2$ 및 에너지 노름에서 최적 수렴 속도를 달성하며, 복잡한 인터페이스에서의 수치 실험을 통해 검증된다.

ABSTRACT

This paper develops and analyses numerical approximation for linear-quadratic optimal control problem governed by elliptic interface equations. We adopt variational discretization concept to discretize optimal control problem, and apply an interface-unfitted finite element method due to [A. Hansbo and P. Hansbo. An unfitted finite element method, based on Nitsche's method, for elliptic interface problems. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 191(47-48): 5537-5552, 2002] to discretize corresponding state and adjoint equations, where piecewise cut basis functions around interface are enriched into standard conforming finite element space. Optimal error estimates in both $L^2$ norm and a mesh-dependent norm are derived for optimal state, co-state and control under different regularity assumptions. Numerical results verify the theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 불연속 계수와 복잡한 인터페이스 기하학을 가진 타원형 인터페이스 최적제어 문제를 해결하는 데 도전하는 것.
• 인터페이스 문제에서 해의 정규성이 낮아 발생하는 메esh 생성의 어려움과 수렴 속도 저하 문제를 해결하는 것.
• 계산 메쉬를 인터페이스에 맞추지 않으면서도 최적 수렴을 유지하는 강력한 수치적 스킴을 개발하는 것.
• 다양한 정규성 조건 하에 상태, 양변, 제어 변수에 대한 엄밀한 오차 추정을 수립하는 것.
• 다각형 및 별형 인터페이스에서의 수치 실험을 통해 이론적 결과를 검증하는 것.

제안 방법

• 최적제어 문제에 변분 이산화를 적용하여 제어 근사와 상태 및 양변 방정식을 분리한다.
• 상태 및 양변 방정식을 이산화하기 위해 니츠체 방법에 기반한 인터페이스 적합하지 않은 유한요소 방법을 사용한다.
• 해의 특이성을 포착하기 위해 인터페이스 근처에서 조각별 선형 컷 기저 함수로 표준 유한요소 공간을 보강한다.
• 요소 기하학에 따라 의존하는 안정화 파rameter $\widetilde{C}$를 가진 니츠체 유형의 안정화를 통합한다.
• 일致한 변분 이론을 사용한 갈레르킨 근사로 상태, 양변, 제어 변수에 대한 이산 스킴을 구성한다.
• 다양한 정규성 가정 하에 수렴 속도를 유도하기 위해 메쉬에 의존하는 노름과 $L^2$-노름 오차 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 인터페이스 적합하지 않은 유한요소 방법이 정규성이 낮은 해를 가진 타원형 인터페이스 최적제어 문제에 대해 최적 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 안정화 파rameter $\widetilde{C}$의 선택이 컷FEM 근사의 정확성과 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 해가 제한된 정규성(예: $H^{3/2}$이지만 $H^2$는 아님)을 가질 경우 상태, 양변, 제어 변수에 대해 유도할 수 있는 오차 추정은 무엇인가?
• RQ4 다섯 개의 끝을 가진 별형 인터페이스와 같은 복잡한 인터페이스 기하학에서 이 방법의 성능은 어떠한가?
• RQ5 인터페이스가 요소를 비정렬 방식으로 가로질러도 이 방법이 여전히 최적 수렴 속도를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 상태 및 양변 변수에 대해 $H^{3/2}$ 정규성 하에서 $L^2$-노름 및 에너지 노름에서 순서 $h^{3/2}$의 최적 수렴 속도를 달성한다.
• 제어 변수는 $H^{3/2}$ 정규성 하에서 $L^2(\Gamma)$-노름에서 순서 $h^{1.7}$의 수렴 속도를 보이며, 이는 이론적 한계인 $h^{1.5}$를 초과한다.
• 다각형 인터페이스에서의 수치 결과는 상태 및 공상 상태에 대해 $L^2$-노름에서 2차 수렴을 보이며, $256 \times 256$ 메쉬에서 $\|y^* - y_h^*\rVert_{0} \approx 1.31 \times 10^{-4}$이다.
• 다섯 개의 끝을 가진 별형 인터페이스의 경우, 방법은 상태 및 공상 상태 필드를 정확하게 해석하며, 정확한 인터페이스 기하학을 반영하는 명확한 수치적 인터페이스를 제공한다.
• $\widetilde{C} = 50$ 및 $\widetilde{C} = 1000$로 계산한 해의 차이는 무시할 수 없을 정도로 작아, 안정화 파rameter 선택에 대해 민감하지 않음을 시사한다.
• 모든 테스트된 오차 노름에서 예상보다 높은 수렴 순서를 달성함으로써, 컷FEM 방법은 이전 방법보다 성능이 뛰어나다.