[논문 리뷰] An interpretation of system F through bar recursion

Valentin Blot|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 20.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 실현가능성(Realizability)을 활용하여 각 F 항에 대한 정지 경계를 추출하고, 이를 통해 단순형 타입의 전체 언어에 대한 System F의 첫 번째 조합적 번역을 제시한다. 바 리커르션(Bar recursion)을 갖춘 이 언어에서, 이러한 경계를 통해 원시 재귀를 이용해 정규형을 계산함으로써, 다형 타이핑과 바 리커르션 기반 계산 간의 새로운 다리를 구축한다.

ABSTRACT

There are two possible computational interpretations of second-order arithmetic: Girard's system F or Spector's bar recursion and its variants. While the logic is the same, the programs obtained from these two interpretations have a fundamentally different computational behavior and their relationship is not well understood. We make a step towards a comparison by defining the first translation of system F into a simply-typed total language with a variant of bar recursion. This translation relies on a realizability interpretation of second-order arithmetic. Due to Godel's incompleteness theorem there is no proof of termination of system F within second-order arithmetic. However, for each individual term of system F there is a proof in second-order arithmetic that it terminates, with its realizability interpretation providing a bound on the number of reduction steps to reach a normal form. Using this bound, we compute the normal form through primitive recursion. Moreover, since the normalization proof of system F proceeds by induction on typing derivations, the translation is compositional. The flexibility of our method opens the possibility of getting a more direct translation that will provide an alternative approach to the study of polymorphism, namely through bar recursion.

연구 동기 및 목표

• 두 가지 서로 다른 두 번째 순서 산술의 계산적 해석인 System F와 바 리커르션 사이의 공식적 연결을 수립하기 위해.
• 논리적으로 동치이지만 계산적 관계에 대한 이해가 부족한 상황에서, System F와 바 리커르션 간의 계산적 관계를 해결하기 위해.
• 타이핑 구조를 유지하면서 System F에서 바 리커션을 갖춘 전체 언어로의 번역을 개발하고 정규화를 가능하게 하기 위해.
• 고델의 불완전성 정리가 유도하는 제약를 극복하기 위해 실현가능성을 사용하여 개별 항에 대한 유한한 정지 경계를 추출하기 위해.

제안 방법

• 두 번째 순서 산술의 실현가능성 해석을 사용하여 각 System F 항에 대해 정규형에 도달하기까지의 감소 단계 수에 대한 경계를 부여한다.
• 각 개별 System F 항에 대해, 두 번째 순서 산술이 그 정지성을 증명할 수 있음을 활용하여 계산 가능한 경계를 도출한다.
• 추출된 정지 경계를 사용하여 원시 재귀를 통해 각 System F 항의 정규형을 계산한다.
• 타이핑 도출에 대한 귀납법을 통해 조합적 번역을 구성함으로써 구조적 보존을 보장한다.
• 단순형 타입의 전체 언어에서 계산적 기반으로 바 리커르션의 변종을 사용한다.
• 각 타입과 항에 대해 System F의 해당 항에 대응하는 항으로 매핑하는 체계적이고 재귀적인 번역을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 System F를 바 리커션을 갖춘 전체 언어로의 조합적 번역을 구성할 수 있는가? 이때 타이핑 구조를 유지할 수 있는가?
• RQ2 두 번째 순서 산술의 실현가능성 해석은 어떻게 사용하여 System F 항에 대한 감소 단계 수의 유한한 경계를 추출할 수 있는가?
• RQ3 이러한 추출된 경계를 사용하여 원시 재귀가 System F 항의 정규화를 얼마나 잘 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ4 논리적으로 동치이지만 계산적 행동이 다른 System F와 바 리커션 사이의 계산적 관계는 어떠한가?
• RQ5 이 번역이 다형성에 대한 새로운 바 리커션 기반 접근법의 기초가 될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 바 리커션의 변종을 포함한 단순형 타입의 전체 언어로의 System F에 대한 첫 번째 조합적 번역을 성공적으로 구성하였다.
• System F의 각 개별 항에 대해 실현가능성 해석이 정규형에 도달하기까지의 감소 단계 수에 대한 유한한 경계를 도출한다.
• 이 경계들은 각 항의 정규형을 원시 재귀를 통해 계산하는 데 사용되며, 대상 언어 내에서 완전한 정규화를 가능하게 한다.
• 번역은 타이핑 도출에 대한 귀납법에 기반하여 조합적이며, 이는 구조적 충실성과 확장 가능성을 보장한다.
• 이 방법은 바 리커션을 통한 다형성 연구를 위한 새로운 길을 제공하며, 전통적인 System F 의미론에 대한 대안을 제시한다.
• 전체 일致성 증명이 아닌 개별 항의 정지성에 초점을 맞춤으로써 고델의 불완전성 정리의 제약를 회피한다.