[논문 리뷰] An invariance principle for sums and record times of regularly varying stationary sequences

Bojan Basrak, Hrvoje Planinić외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 02.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 33인용 수 36

한 줄 요약

이 논문은 정적이고 정규적으로 변화하는 수열에서 합과 기록 시간의 새로운 불변 원리를 도입함으로써, 공간 $E$ 내에서 장식된 càdlàg 함수를 기반으로 한 새로운 극한 이론을 제시하여, 고전적 $D$-공간 기능적 극한 정리가 실패하는 경우에도 수렴을 가능하게 한다. 일반적인 의존 구조 하에서 부분 합과 누적 최대값의 약한 수렴을 증명하고, 의존 제약 조건 하에서 기록 시간이 복합 척도 불변 포아송 과정으로 수렴함을 보이며, 새로운 점 과정 수렴 프레임워크를 통해 시간 순서를 유지한다.

ABSTRACT

We prove a sequence of limiting results about weakly dependent stationary and regularly varying stochastic processes in discrete time. After deducing the limiting distribution for individual clusters of extremes, we present a new type of point process convergence theorem. It is designed to preserve the entire information about the temporal ordering of observations which is typically lost in the limit after time scaling. By going beyond the existing asymptotic theory, we are able to prove a new functional limit theorem. Its assumptions are satisfied by a wide class of applied time series models, for which standard limiting theory in the space $D$ of \\cadlag\\ functions does not apply. To describe the limit of partial sums in this more general setting, we use the space~$E$ of so--called decorated \\cadlag\\ functions. We also study the running maximum of partial sums for which a corresponding functional theorem can be still expressed in the familiar setting of space $D$. We further apply our method to analyze record times in a sequence of dependent stationary observations, even when their marginal distribution is not necessarily regularly varying. Under certain restrictions on dependence among the observations, we show that the record times after scaling converge to a relatively simple compound scale invariant Poisson process.

연구 동기 및 목표

• 표준 $D$-공간 수렴이 실패하는 경우, 약한 의존성과 정규적으로 변화하는 정적 수열의 부분 합에 대한 기능적 극한 정리를 개발하기 위해.
• 시간을 $[0,1]$으로 스케일링할 때 관측치의 시간 순서를 유지하기 위해, 비국소적 공간에서 새로운 점 과정 수렴 프레임워크를 도입하기 위해.
• 고전적 $D([0,1])$ 공간에서 부분 합의 누적 최대값에 대한 기능적 극한 정리를 수립하기 위해.
• 의존 제약 조건 하에서 종속적인 정적 수열의 기록 시간이 복합 척도 불변 포아송 과정으로 수렴함을 보이고자 하며, 기록 시간의 군집화를 반영하기 위해.
• 고전적 점 과정 극한 이론을 확장하여 극단적 의존성에서의 군집 구조와 시간 순서를 포착하기 위해.

제안 방법

• 비국소적 공간에서 새로운 점 과정 수렴 프레임워크를 도입하여, 시간 스케일링 시 관측치의 시간 순서를 유지하기 위해.
• 비중첩 군집의 극단치 기반의 경험 점 과정을 정의하고, 군집 크기를 $n$에 따라 증가시켜 시간적 구조를 유지하기 위해.
• 부분 합의 극한을 기술하기 위해, $J_1$ 위상이 실패할 경우 고전적 $D([0,1])$ 공간을 대체하는 $E([0,1])$ 장식된 càdlàg 함수 공간을 사용하기 위해.
• 강도 $Leb \times d(-\theta y^{-\theta}) \times \nu_{\boldsymbol{Q}}$ 를 가진 $[0,1] \times (0,\frown\big)\times \tilde{l}_0$ 상의 포아송 점 과정을 구성하기 위해, $\boldsymbol{Q}$ 는 정적 확률 변수 수열이다.
• 푸비니 정리와 점근 수렴 정리를 적용하여, 극한 랜덤 변수 $V(1)$ 의 특성 함수를 유도하기 위해, $y^{-2}dy$ 와 로그 항을 포함하는 적분을 사용하기 위해.
• 사토(1999)의 적분 표현을 활용하여, 극한 레비 과정의 특성 지수를 유도하기 위해, $|z|$, $\text{sgn}(z)\text{log}|z|$, 선형 이동 항을 포함하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 $J_1$ 위상이 종속적이고 정규적으로 변화하는 수열에서 실패하는 일반적인 설정에서 부분 합에 대한 기능적 극한 정리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 시간을 $[0,1]$으로 스케일링할 때 극단치의 시간 순서를 어떻게 유지할 수 있는가?
• RQ3 일반적인 연속 누적분포를 가진 정적 종속 수열에서 기록 시간의 극한 분포는 무엇인가?
• RQ4 기록 시간 과정이 복합 척도 불변 포아송 과정으로 수렴하기 위한 의존 조건은 무엇인가?
• RQ5 부분 합의 극한은 $D([0,1])$ 공간 외에 다른 공간에서 기술될 수 있으며, 그러한 공간의 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 부분 합 $S_{\flor nt\rfloor}$ 는 장식된 càdlàg 함수의 공간 $E([0,1])$ 내에서 약한 수렴을 보이며, 이는 극단치의 군집 구조와 시간 순서를 포착한다.
• 누적 최대값의 극한은 단조성 덕분에 고전적 $D([0,1])$ 공간에 남아 있어 표준 기능적 극한 정리의 형태로 기술할 수 있다.
• 스케일링 후 기록 시간은 분포 수렴을 통해 복합 척도 불변 포아송 과정으로 수렴하며, 종속 수열에서 기록의 군집화를 반영한다.
• 극한 $V(1)$ 의 특성 함수는 $ \text{log}\b{E}[e^{izV(1)}] = -\frac{\theta\tau}{2}|z|\big(1 + i\frac{2}{\theta}\text{sgn}(z)\text{log}|z|\big) + iaz $ 로 유도되며, $ \tau = \b{E}[|S|] $, $ a $ 는 $ \text{log}|Q_j| $ 와 $ \text{log}|S| $ 의 기대값을 포함한다.
• 기록 시간의 극한 과정은 전체 합 과정보다 간단하며, 기록 발생의 군집 형성으로 인해 복합 구조가 발생한다.
• 이 방법은 표준 $J_1$ 수렴이 실패하는 광범위한 시계열 모델(예: $m$-의존 선형 과정)에 적용 가능하여, 기존 이론보다 더 넓은 적용 가능성을 보여준다.