[논문 리뷰] An irreducibility criterion for polynomials over integers

Biswajit Koley, A. Satyanarayana Reddy|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 07.

Coding theory and cryptography인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 정수 계수 다항식에 대해 상수항의 절댓값이 나머지 계수들의 절댓값의 합과 같고, 그 값이 소수일 경우의 기초 불가약성 기준을 설정한다. 이 기준에 따르면 이러한 다항식은 불가약하거나 순환다항식으로 나누어떨어지며, 삼항식의 불가약성에 대한 단순한 테스트를 가능하게 하고, 특정 사항식의 분리 가능성 기준을 제공한다.

ABSTRACT

In this article, we consider the polynomials of the form $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\in \mathbb{Z}[x],$ where $|a_0|=|a_1|+\dots+|a_n|$ and $|a_0|$ is a prime. We show that these polynomials have a cyclotomic factor whenever reducible. As a consequence, we give a simple procedure for checking the irreducibility of trinomials of this form and separability criterion for certain quadrinomials.

연구 동기 및 목표

• 특정 계수 제약 조건을 만족하는 ℤ[x]에 속하는 다항식의 불가약성에 대한 충분조건을 설정하기.
• 이러한 다항식이 분해 가능할 경우 반드시 순환다항식을 인수로 가져야 하는 조건을 규명하기.
• 주어진 조건 하에서 삼항식의 불가약성 테스트를 위한 실용적인 알고리즘을 제공하기.
• 동일 조건을 바탕으로 특정 사항식의 분리 가능성 기준으로 분석을 확장하기.

제안 방법

• |a₀| = |a₁| + ⋯ + |aₙ| 이고 |a₀| 가 소수인 f(x) ∈ ℤ[x]의 다항식을 분석한다.
• 분해 가능할 경우의 인수 분해 행동을 규명하기 위해 순환다항식의 성질을 적용한다.
• |a₀| 가 소수라는 점을 이용해 가능한 인수 분해를 제약한다.
• 소수 모듈로로의 환원과 근 분석을 적용하여 순환다항식의 인수 여부를 추론한다.
• 불가약성의 대체 기준으로 순환다항식 인수 존재 여부를 확인하는 의사결정 절차를 유도한다.
• 이 기준을 삼항식과 특정 사항식에 적용하여 분리 가능성 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 |a₀| = Σ|aᵢ| 이고 |a₀| 가 소수인 다항식 f(x) ∈ ℤ[x]가 어떤 조건에서 불가약한가?
• RQ2 이러한 다항식이 분해 가능할 경우 반드시 순환다항식으로 나누어져야 하는가?
• RQ3 이 기준을 사용하여 삼항식의 불가약성 테스트를 위한 단순한 알고리즘을 만들 수 있는가?
• RQ4 동일한 계수 제약 조건 하에서 사항식에 대해 어떤 분리 가능성 조건을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• |a₀| = |a₁| + ⋯ + |aₙ| 이고 |a₀| 가 소수인 다항식 f(x) ∈ ℤ[x]는 불가약하거나 순환다항식으로 나누어떨어진다.
• 이러한 다항식이 분해 가능할 경우 반드시 순환다항식 인수가 존재한다.
• 이 기준은 이러한 형태의 삼항식의 불가약성에 대한 단순하고 효과적인 테스트를 가능하게 한다.
• 이 방법은 동일 조건 하에서 특정 사항식의 분리 가능성 기준으로도 확장된다.
• 순환다항식의 알려진 성질을 활용함으로써 불가약성 테스트의 복잡도를 감소시킨다.