[논문 리뷰] An SDP Approach For Solving Quadratic Fractional Programming Problems

Van-Bong Nguyen, Ruey-Lin Sheu외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 18.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양측 제약 조건이 있는 이차 분수계획문제를 해결하기 위해 반복적인 Dinkelbach 방법을 피하는 새로운 정준형프로그래밍(SDP) 리 릿레서션 접근법을 제안한다. 제약 조건 적합성 조건 하에 등식을 포함한 S-레마의 새로운 판정을 증명함으로써 최적의 파rameter $ olambda^*$가 정확한 SDP 리 릿레서션을 통해 직접 계산 가능해지며, 이는 이중 Slater 조건이나 정정의 행렬 펜슬 가정 없이도 효율적인 전역 해를 확보할 수 있게 한다.

ABSTRACT

This paper considers a fractional programming problem (P) which minimizes a ratio of quadratic functions subject to a two-sided quadratic constraint. As is well-known, the fractional objective function can be replaced by a parametric family of quadratic functions, which makes (P) highly related to, but more difficult than a single quadratic programming problem subject to a similar constraint set. The task is to find the optimal parameter $λ^*$ and then look for the optimal solution if $λ^*$ is attained. Contrasted with the classical Dinkelbach method that iterates over the parameter, we propose a suitable constraint qualification under which a new version of the S-lemma with an equality can be proved so as to compute $λ^*$ directly via an exact SDP relaxation. When the constraint set of (P) is degenerated to become an one-sided inequality, the same SDP approach can be applied to solve (P) {\it without any condition}. We observe that the difference between a two-sided problem and an one-sided problem lies in the fact that the S-lemma with an equality does not have a natural Slater point to hold, which makes the former essentially more difficult than the latter. This work does not, either, assume the existence of a positive-definite linear combination of the quadratic terms (also known as the dual Slater condition, or a positive-definite matrix pencil), our result thus provides a novel extension to the so-called "hard case" of the generalized trust region subproblem subject to the upper and the lower level set of a quadratic function.

연구 동기 및 목표

• 이차 분수계획문제에 대해 두 측면의 이차 제약 조건이 있는 경우 기존의 Dinkelbach 방법이 계산적으로 비효율적인 문제를 해결하기 위해.
• 일반화된 트러스트 영역 하위문제의 '어려운 경우'에서 제약을 받는 기존 방법의 한계를 제거하기 위해 이중 Slater 조건(정정의 행렬 펜슬)이 필요로 하지 않는 것을 목적으로 한다.
• 반복적인 보정 없이 최적의 파rameter $\nolambda^*$를 직접 계산할 수 있는 직접적인 SDP 기반 방법을 수립하기 위해.
• 새로운 제약 조건 적합성 조건 하에 등식을 포함한 새로운 S-레마를 제안함으로써 분수계획문제에 대한 정확한 SDP 리 릿레서션을 가능하게 하기 위해.
• 기존의 가정이 실패하는 '어려운 경우'에서 이차 분수계획문제에 대해 SDP 방법의 적용 가능성을 확장하기 위해.

제안 방법

• Dinkelbach 변환을 사용하여 분수계획문제 (P)를 파arameter $ olambda$에 의존하는 부분문제 $(P)_\nolambda$로 재구성하여, 타당 집합 $X$ 내에서 $f_1(x) - \nolambda f_2(x)$ 를 최소화한다.
• 등식을 포함한 일반화된 S-레마를 증명할 수 있는 새로운 제약 조건 적합성 조건을 도입함으로써 정확한 SDP 리 릿레서션을 가능하게 한다.
• 반복적인 $ olambda$ 업데이트를 피하기 위해 단일 SDP 문제를 풀어 최적의 $ olambda^*$를 직접 계산하는 정준형프로그래밍 리 릿레서션을 사용한다.
• 제약 조건 집합이 한쪽 방향 부등식으로 간소화될 경우, 추가 조건 없이도 SDP 방법이 적용됨을 증명한다.
• 행렬 $A_2$와 $B$의 동치에 의한 동시에 대각화(SDC)를 활용하여 문제의 정의 가능성과 유계성 분석을 수행한다.
• S-레마를 적용하여 문제의 정의 가능성 조건을 기술하는 행렬 부등식 조건 (62)를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이차 분수계획문제에서 최적의 파arameter $ olambda^*$가 반복적인 보정 없이 직접 계산될 수 있는가?
• RQ2 두 측면의 제약 조건이 있는 일반화된 트러스트 영역 하위문제를 해결할 때 이중 Slater 조건(정정의 행렬 펜슬)을 피할 수 있는가?
• RQ3 어떤 제약 조건 적합성 조건이 정확한 SDP 리 릿레서션을 가능하게 하는 등식을 포함한 S-레마의 새로운 판정을 가능하게 하는가?
• RQ4 두 측면의 제약 조건 집합이 존재할 경우, 한쪽 방향 제약 조건이 있는 경우와 비교해 이차 분수계획문제의 해법 가능성과 이중성 갭에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 SDC나 이중 Slater 조건을 가정하지 않고도 분수계획문제의 정의 가능성은 계산 가능한 행렬 부등식 조건으로 기술될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 SDP 접근법은 정확한 리 릿레서션을 통해 $ olambda^*$를 직접 계산함으로써 반복적인 Dinkelbach 업데이트가 필요 없어지며, 계산 효율성이 향상된다.
• 새로운 제약 조건 적합성 조건 하에 등식을 포함한 S-레마의 새로운 판정이 증명되었으며, 자연스러운 Slater 점이 존재하지 않을 경우에도 정확한 SDP 리 릿레서션을 가능하게 한다.
• 제약 조건 집합이 한쪽 방향 부등식으로 단순화될 경우, 추가 조건 없이도 이 방법이 적용되며, 이는 이전 접근법보다 더 일반적인 성질을 지닌다.
• 문제의 정의 가능성은 계산 가능한 행렬 부등식 (62)로 기술되며, 이는 Assumption C보다 더 일반적이며 이중 Slater 조건을 필요로 하지 않는다.
• 이 방법은 정정의 행렬 펜슬의 존재를 가정하지 않더라도 일반화된 트러스트 영역 하위문제의 '어려운 경우'를 성공적으로 처리할 수 있다.
• 이론적 결과에 따르면, $A_2$와 $B$의 SDC가 성립할 경우 문제 (61)은 도달 가능하거나 아래로 유계가 아니며, 이는 해법 조건이 잘 정의되어 있음을 보장한다.