[논문 리뷰] An Uncertainty Principle for Discrete Signals

Sangnam Nam|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 24.

Mathematical Analysis and Transform Methods참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 연속 도메인에서 주기화되고 국소화된 함수로부터 유도된 타당한 신호를 분석하여 유한 길이 신호에 대한 이산 불확정성 원리를 수립한다. 이 신호들에 대해 시간-주파수 불확정성 곱이 연속 헤이젠베르크 한계에 매우 가까이 있으며, 이산 가우시안은 거의 최적성을 달성함으로써 연속 및 이산 시간-주파수 분석 간 격차를 메운다.

ABSTRACT

By use of window functions, time-frequency analysis tools like Short Time Fourier Transform overcome a shortcoming of the Fourier Transform and enable us to study the time- frequency characteristics of signals which exhibit transient os- cillatory behavior. Since the resulting representations depend on the choice of the window functions, it is important to know how they influence the analyses. One crucial question on a window function is how accurate it permits us to analyze the signals in the time and frequency domains. In the continuous domain (for functions defined on the real line), the limit on the accuracy is well-established by the Heisenberg's uncertainty principle when the time-frequency spread is measured in terms of the variance measures. However, for the finite discrete signals (where we consider the Discrete Fourier Transform), the uncertainty relation is not as well understood. Our work fills in some of the gap in the understanding and states uncertainty relation for a subclass of finite discrete signals. Interestingly, the result is a close parallel to that of the continuous domain: the time-frequency spread measure is, in some sense, natural generalization of the variance measure in the continuous domain, the lower bound for the uncertainty is close to that of the continuous domain, and the lower bound is achieved approximately by the 'discrete Gaussians'.

연구 동기 및 목표

• 유한 이산 신호에 대한 불확정성 원리 이해의 격차를 해소하고, 특히 이산 푸리에 변환의 맥락에서 이를 다루기 위해.
• 연속 도메인의 헤이젠베르크 불확정성 원리가 유한 길이 신호에 대해 의미 있는 이산 해석을 갖는지 조사하기 위해.
• 시간-주파수 분석을 위한 이산 윈도우 함수—특히 이산 가우시안—의 최적성 특성을 규명하기 위해.
• 연속 해석에 기반하여 이산 설정에서 이산 가우시안의 거의 최적성에 대한 이론적 근거를 제공하기 위해.
• 국소화되고 주기화된 함수로부터 파생된 타당한 이산 신호의 클래스에 대해 시간-주파수 불확정성 곱의 범위를 설정하기 위해.

제안 방법

• L²(ℝ)에 속하는 함수 f에 대해 √N 주기로 주기화되고 (N,ε)-국소화된 함수이며, 이를 균일하게 샘플링한 ℂ^N 내의 타당한 신호를 정의함으로써, 부드러움과 감쇠성을 확보한다.
• 표본화된 신호 x_f 의 DFT 를 원함수 f 의 푸리에 변환과 연결하기 위해 파oisson 합공식을 사용한다.
• Parseval의 항등식과 모멘트 근사 기법을 적용하여 f 와 그 이산 대응체 x_f 의 분산 측도를 비교한다.
• f, f', f̂, f̂' 에 대한 (N,ε)-국소화 조건을 활용하여 연속 및 이산 도메인 간 분산 근사 오차를 제한한다.
• 시간 및 주파수 분산 곱에 대한 범위를 유도한다: v_x v_x̂ ∈ [(1−√ε)²/(16π²), (1+√ε)²/(16π²)]
• ε 가 작을 경우, 불확정성 곱이 연속 헤이젠베르크 한계 1/(16π²) 에 임의로 가까워짐을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 길이 신호에 대해 연속 헤이젠베르크 불확정성 원리와 유사한 이산 불확정성 원리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 이산 가우시안이 이산 설정에서 최적의 시간-주파수 국소화를 어느 정도 근접하는가?
• RQ3 이산 신호의 시간 및 주파수 분산은 연속 국소화 함수의 그것과 얼마나 정확히 근사되는가?
• RQ4 연속 원형 함수에 어떤 조건이 성립하면, 그 이산 샘플링이 시간-주파수 분석을 위한 거의 최적의 윈도우를 생성하는가?
• RQ5 타당한 클래스 내에서 이산 가우시안의 거의 최적성은 ℂ^N 의 모든 신호로 확장 가능한가?

주요 결과

• 타당한 신호가 (N,ε)-국소화된 함수로부터 유도된 경우, 시간-주파수 불확정성 곱은 v_x v_x̂ ≥ (1−√ε)²/(16π²) 를 만족한다.
• ε 가 작을 경우(예: ε ≈ 0.01), 하한은 연속 헤이젠베르크 한계 1/(16π²) 에 1% 이내에 도달한다.
• 이산 가우시안—가우시안 함수를 주기화하고 샘플링하여 유도된 것—은 이론적 최소값에 매우 가까운 불확정성 곱을 달성한다.
• Poisson 합공식에 의해 표본화된 신호 x_f 의 DFT 는 f 의 푸리에 변환의 표본화된 형태와 동일하다: x̂_f = x_f̂.
• 수치적 증거는 큰 N 과 잘 국소화된 함수에 대해 불확정성 한계가 실제로 1/(16π²) 와 매우 가까운 것으로 확인한다.
• 결과는 이산 가우시안이 특히 원래 가우시안이 시간과 주파수 양쪽에서 잘 농축되어 있을 경우, 이산 시간-주파수 분석을 위한 거의 최적의 윈도우임을 시사한다.