[论文解读] Analysis and geometry on marked configuration spaces

Sergio Albeverio, Yuri Kondratiev+2 more|ArXiv.org|Aug 14, 2006

Advanced Topology and Set Theory参考文献 40被引用 11

一句话总结

本文在黎曼流形 $X$ 上的标记配置空间上建立了微分几何与随机分析框架，其中标记来自李群 $G$ 的齐性空间 $M$。引入了自然梯度 $\nabla^\Omega$ 与散度 $\operatorname{div}^\Omega$，并证明混合标记泊松测度是使这些算子互为对偶的体积元素。主要贡献在于识别出这些测度为诱导几何下唯一的体积元素，同时构造了狄利克雷型形式，并给出了微分同胚群 $\mathfrak{A}$ 与光滑 $G$-值电流群的表示。

ABSTRACT

We carry out analysis and geometry on a marked configuration space $Ω^M_X$ over a Riemannian manifold $X$ with marks from a space $M$. We suppose that $M$ is a homogeneous space $M$ of a Lie group $G$. As a transformation group $\frak A$ on $Ω_X^M$ we take the ``lifting'' to $Ω_X^M$ of the action on $X imes M$ of the semidirect product of the group $\operatorname{Diff}_0(X)$ of diffeomorphisms on $X$ with compact support and the group $G^X$ of smooth currents, i.e., all $C^\infty$ mappings of $X$ into $G$ which are equal to the identity element outside of a compact set. The marked Poisson measure $π_σ$ on $Ω_X^M$ with Lévy measure $σ$ on $X imes M$ is proven to be quasiinvariant under the action of $\frak A$. Then, we derive a geometry on $Ω_X^M$ by a natural ``lifting'' of the corresponding geometry on $X imes M$. In particular, we construct a gradient $ abla^Ω$ and a divergence $\operatorname{div}^Ω$. The associated volume elements, i.e., all probability measures $μ$ on $Ω_X^M$ with respect to which $ abla^Ω$ and $\operatorname{div}^Ω$ become dual operators on $L^2(Ω_X^M;μ)$, are identified as the mixed marked Poisson measures with mean measure equal to a multiple of $σ$. As a direct consequence of our results, we obtain marked Poisson space representations of the group $\frak A$ and its Lie algebra $\frak a$. We investigate also Dirichlet forms and Dirichlet operators connected with (mixed) marked Poisson measures.

研究动机与目标

• 在 $M$ 为李群 $G$ 的齐性空间的标记配置空间 $\Omega_X^M$ 上发展微分几何与随机分析框架。
• 将群 $\mathfrak{A} = \operatorname{Diff}_0(X) \ltimes G^X$ 的作用提升至 $\Omega_X^M$，并证明标记泊松测度 $\pi_{\widetilde{\sigma}}$ 在此作用下是拟不变的。
• 通过从基空间 $X \times M$ 提升的方式，构造 $\Omega_X^M$ 上的自然梯度 $\nabla^\Omega$ 与散度 $\operatorname{div}^\Omega$，并识别其关联的体积元素。
• 刻画混合标记泊松测度为唯一满足 $\nabla^\Omega$ 与 $\operatorname{div}^\Omega$ 在 $L^2(\Omega_X^M; \mu)$ 上互为对偶算子的概率测度。

提出的方法

• 群 $\mathfrak{A}$ 定义为 $\operatorname{Diff}_0(X)$ 与 $G^X$ 的半直积，其在 $X \times M$ 上作用，并通过配置层次的变换提升至 $\Omega_X^M$。
• 在 $\Omega_X^M$ 上利用 $X \times M$ 上的 Radon 测度 $\widetilde{\sigma}$（满足 $\widetilde{\sigma}(\{x\} \times M) = 0$）构造标记泊松测度 $\pi_{\widetilde{\sigma}}$。
• $\Omega_X^M$ 上的梯度 $\nabla^\Omega$ 与散度 $\operatorname{div}^\Omega$ 通过从 $X \times M$ 的黎曼结构提升得到，使用标记泊松梯度 $\nabla^{\mathrm{MP}}$ 与算子 $H^{X \times M}_{\widetilde{\sigma}}$。
• 几何的体积元素 $\mu$ 被识别为均值测度与 $\widetilde{\sigma}$ 成比例的混合标记泊松测度，确保在 $L^2(\mu)$ 中 $\nabla^\Omega$ 与 $\operatorname{div}^\Omega$ 的对偶性。
• 在 $\Omega_X^M$ 上构造狄利克雷型形式：$\mathcal{E}^{\mathrm{MP}}_{\pi_{\widetilde{\sigma}}, A}(F_1, F_2) = \int_{\Omega_X^M} (\nabla^{\mathrm{MP}}F_1, A \nabla^{\mathrm{MP}}F_2)_{L^2(\widetilde{\sigma})} \, \pi_{\widetilde{\sigma}}(d\omega)$，其中 $A > 0$。
• 内在狄利克雷算子 $H^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}}$ 被证明是 $H^{X \times M}_{\widetilde{\sigma}}$ 的二次量化，满足在稠密定义域上 $H^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}} = \nabla^{\mathrm{MP}*} H^{X \times M}_{\widetilde{\sigma}} \nabla^{\mathrm{MP}}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 标记泊松测度 $\pi_{\widetilde{\sigma}}$ 在群 $\mathfrak{A} = \operatorname{Diff}_0(X) \ltimes G^X$ 作用于 $\Omega_X^M$ 下是否拟不变？
• RQ2 能否通过从 $X \times M$ 提升几何结构，在 $\Omega_X^M$ 上构造出自然的微分几何——特别是梯度与散度算子？
• RQ3 哪些 $\Omega_X^M$ 上的概率测度 $\mu$ 使得 $\nabla^\Omega$ 与 $\operatorname{div}^\Omega$ 在 $L^2(\Omega_X^M; \mu)$ 上互为对偶算子？
• RQ4 如何建立 $\Omega_X^M$ 上的狄利克雷型形式与算子与基空间 $X \times M$ 上的对应形式与算子之间的关系？
• RQ5 内在狄利克雷算子 $H^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}}$ 的谱性质是什么？在何种条件下其为本质自伴？

主要发现

• 标记泊松测度 $\pi_{\widetilde{\sigma}}$ 在群 $\mathfrak{A} = \operatorname{Diff}_0(X) \ltimes G^X$ 作用于 $\Omega_X^M$ 下是拟不变的，推广了标准泊松测度在 $\operatorname{Diff}_0(X)$ 作用下的拟不变性。
• $\Omega_X^M$ 上的梯度 $\nabla^\Omega$ 与散度 $\operatorname{div}^\Omega$ 通过从 $X \times M$ 提升构造，且当且仅当 $\mu$ 是均值测度与 $\widetilde{\sigma}$ 成比例的混合标记泊松测度时，它们在 $L^2(\Omega_X^M; \mu)$ 上互为对偶算子。
• 内在狄利克雷算子 $H^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}}$ 在 $\Omega_X^M$ 上被识别为 $X \times M$ 上狄利克雷算子 $H^{X \times M}_{\widetilde{\sigma}}$ 的二次量化，满足在 $\mathcal{F}C^{\infty}_{\mathrm{p}}({\mathfrak{D}}_0, \Omega_X^M)$ 上 $H^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}} = \nabla^{\mathrm{MP}*} H^{X \times M}_{\widetilde{\sigma}} \nabla^{\mathrm{MP}}$。
• 若 $H^{X \times M}_{\widetilde{\sigma}}$ 在 $\mathfrak{D}_0$ 上本质自伴，则 $H^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}}$ 在 $\mathcal{F}C^{\infty}_{\mathrm{b}}({\mathfrak{D}}_0, \Omega_X^M)$ 上本质自伴，从而保证了马尔可夫过程的正确定义。
• 转移半群 $T^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}}(t) = \exp(-tH^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}})$ 作用于形如 $\exp(\langle \log(1+\varphi), \cdot \rangle)$ 的函数时，满足 $T^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}}(t)\exp(\langle\log(1+\varphi),\cdot\rangle) = \exp\big{(}\langle\log(1+e^{-tH^{X\times M}_{\widetilde{\sigma}}}\varphi),\cdot\rangle - \langle(e^{-tH^{X\times M}_{\widetilde{\sigma}}}-\mathbf{1})\varphi\rangle_{\widetilde{\sigma}}\big{)}$，其中 $\varphi \in \mathfrak{D}_0$ 且 $\varphi > -1$。
• 结果提供了群 $\mathfrak{A}$ 及其李代数 $\mathfrak{a}$ 在标记泊松空间 $\Omega_X^M$ 上的表示，扩展了此前非标记情形的结果。