[논문 리뷰] Analytic Continuation of Operators -- operators acting complex s-times -- Applications: from Number Theory and Group Theory to Quantum Field and String Theories

S. C. Woon|ArXiv.org|1997. 07. 24.

Algebraic and Geometric Analysis참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 복소수 승수에 대해 선형 연산자의 해석적 계속을 제안하여 복소수 s에 대해 연산자가 's번' 작용하도록 한다. 분수적 미분의 일반화와 가환성을 유지함으로써, 새로운 적분 표현, 수론의 비표준 정리, 양자역학, 양자장론 및 끈이론에의 응용을 도출하며, 비국소적 행렬 표현과 베르누이 다항식의 영점들 간의 입자 유사 산란을 포함한다.

ABSTRACT

We are used to thinking of an operator acting once, twice, and so on. However, an operator acting integer times can be consistently analytic continued to an operator acting complex times. Applications: (s,r) diagrams and an extension of Fractional Calculus where commutativity of fractional derivatives is preserved, generating integrals and non-standard derivations of theorems in Number Theory, non-integer power series and breaking of Leibniz and Chain rules, pseudo-groups and symmetry deforming models in particle physics and cosmology, non-local effect in analytic continued matrix representations, particle-physics-like scatterings of zeros of analytic continued Bernoulli polynomials (physics/9705021), analytic continuation of operators in QM, QFT and Strings.

연구 동기 및 목표

• 정수 시간을 초월해 복소수 승수로의 연산자 반복 개념을 해석적 계속을 통해 일반화하는 것.
• 분수 미분의 가환성을 유지하면서 분수 미분의 틀을 확장하는 것.
• 베르누이 다항식과 제타 함수의 생성함수에 연산자를 적용하여 새로운 적분 표현과 비표준 수론 유도를 개발하는 것.
• 양자역학, 양자장론 및 끈이론에 이 형식을 적용하여 비국소적 효과와 대칭을 변형시키는 모델을 드러내는 것.
• 해석적 계속된 함수의 영점들 간의 산란 유사 역학을 통해 복소수 연산자 승수의 물리적 해석을 탐색하는 것.

제안 방법

• 정수 승수 반복 T^n을 복소수 s ∈ ℂ로 해석적 계속함으로써 연산자 T가 s번 작용하도록 정의하는 것.
• 미타그레플레 함수와 라플라스 유사 적분 변환을 사용하여 T^s를 복소해석적 연산자 가중치로 표현하는 것.
• 리만-리우빌 및 와일 분수 미분 틀을 확장하여 분수 미분의 가환성을 유지하는 것.
• 해석적 계속된 연산자 형식을 사용하여 비정수 승수 급수 전개를 구성하는 것.
• 베르누이 다항식과 제타 함수의 생성함수에 이 형식을 적용하여 수론의 비표준 정리를 도출하는 것.
• 행렬 표현을 통해 양자 시스템에 이 형식을 적용하고 복소수 s 도메인에서의 비국소적 효과를 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수 승수에서 복소수 승수로의 연산자 반복을 해석적 계속을 통해 일관되게 확장할 수 있는가?
• RQ2 연산자 계속 기반의 일반화된 분수 미분 틀에서 분수 미분의 가환성이 유지될 수 있는가?
• RQ3 제타 함수와 베르누이 다항식에 복소수 승수 연산자를 적용함으로써 어떤 새로운 수론적 결과가 도출되는가?
• RQ4 해석적 계속된 연산자의 행렬 표현에서 비국소적 효과는 어떻게 나타나는가?
• RQ5 해석적 계속된 베르누이 다항식의 영점들 간의 산란 유사 역학은 어떤 물리적 해석을 암시하는가?

주요 결과

• 복소수 s에 대한 연산자 해석적 계속은 분수 미분을 일반화하면서도 분수 미분의 가환성을 유지하는 일관된 틀을 제공한다.
• 복소수 승수 연산자에 대한 새로운 적분 표현이 유도되어 비정수 승수 급수 전개를 구성할 수 있다.
• 특히 리만 제타 함수와 베르누이 다항식을 포함한 수론의 비표준 정리가 도출된다.
• 해석적 계속된 연산자의 행렬 표현에서 비국소적 효과가 나타나며, 이는 비정상적인 전역적 행동을 암시한다.
• 논문은 해석적 계속된 베르누이 다항식의 영점들 사이에 입자물리학 유사 산란 과정을 식별하며, 이는 역학적 해석을 제안한다.
• 이 형식은 양자역학, 양자장론 및 끈이론으로 확장되어 이 분야들에서 새로운 구조를 드러낸다.