[논문 리뷰] Anderson localization for electric quantum walks and skew-shift CMV matrices

Christopher Cedzich, Albert H. Werner|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 27.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 68인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 무리수 전기장 매개변수를 가진 균일한 전기장 하에서 1차원 양자 산책의 앤더슨 국소화를 확립한다. 절대 연속 스펙트럼의 부재와 르베그-형질(거의 모든) 무리수 전기장에서 고유상태의 지수적 국소화를 증명한다. 비틀림-시프트 Verblunsky 계수를 가진 CMV 행렬과의 유니타리 동치를 통해, 리아프노프 지수에 대한 명시적 해석적 표현을 유도하고, 준주기적 유니타리 밴드 행렬으로 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We consider the spectral and dynamical properties of one-dimensional quantum walks placed into homogenous electric fields according to a discrete version of the minimal coupling principle. We show that for all irrational fields the absolutely continuous spectrum of these systems is empty, and prove Anderson localization for almost all (irrational) fields. This result closes a gap which was left open in the original study of electric quantum walks: a spectral and dynamical characterization of these systems for typical fields. Additionally, we derive an analytic and explicit expression for the Lyapunov exponent of this model. Making use of a connection between quantum walks and CMV matrices our result implies Anderson localization for CMV matrices with a particular choice of skew-shift Verblunsky coefficients as well as for quasi-periodic unitary band matrices.

연구 동기 및 목표

• 유리수 및 특수한 무리수 경우에 대한 이전 결과에도 불구하고, 아직 해결되지 않은 무리수 전기장 하에서 전기 양자 산책의 스펙트럼 및 역학적 행동에 대한 이해의 격차를 메우기 위해.
• 르베그-형질(거의 모든) 무리수 전기장에서, 시스템이 순수 점 스펙트럼과 지수적으로 감쇠하는 고유함수를 보이며, 즉 앤더슨 국소화를 보이는지 확인하기 위해.
• 전기 양자 산책 모델의 리아프노프 지수에 대한 명시적 해석적 표현을 유도하기 위해.
• 양자 산책-_CMV 행렬 상호관계를 통해, 스퍼스 CMV 행렬에서의 국소화 결과를 비틀림-시프트 Verblunsky 계수를 가진 전체 CMV 행렬과 준주기적 유니타리 밴드 행렬으로 확장하기 위해.
• 특히 연분수 계수로 특징지어지지 않는 전기장에 대해, 준주기적 영역에서 일반적인 스펙트럼 행동을 해결하기 위한 열린 질문을 해결하기 위해.

제안 방법

• 전기 양자 산책을 이산 최소 결합 원리로 공식화하여, 공간적으로 변화하는 코인 연산자를 전기장에 의해 유도된 ℓ2(Z)⊗C2 위의 유니타리 시간 진화 연산자 WΦ로 모델링한다.
• 특히 매 번째 Verblunsky 계수가 0인 희박한 CMV 행렬에서 유도되는, 비틀림-시프트 계수를 가진 CMV 행렬로 전기 산책을 매핑하기 위해, 양자 산책과 CMV 행렬 간의 유니타리 동치를 적용한다.
• 희박한 CMV 행렬에서의 국소화 결과를 비틀림-시프트 Verblunsky 계수를 가진 전체 CMV 행렬로 확장하기 위해 '체질' 기법을 사용한다.
• 전이 행렬 형식과 비틀림-시프트 동역학계의 성질을 이용하여, 양자 산책의 리아프노프 지수에 대한 명시적 해석적 공식을 도출한다.
• 준주기적 슈뢰딩거 및 CMV 연산자에 관한 결과, 특히 리아프노프 지수의 양성과 호일더 연속성에 기반하여, 크레이그-버소른 방법 또는 유사한 스펙트럼 기법을 통해 국소화를 증명한다.
• 거의 모든 무리수 주파수(르베그 측도 의미에서)에 대해, 스펙트럼이 순수 점 스펙트럼이며 고유함수가 지수적으로 감쇠함을 증명하여, 앤더슨 국소화를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특히 르베그-형질 집합인 거의 모든 무리수 전기장에서, 전기 양자 산책에 대해 앤더슨 국소화가 발생하는가?
• RQ2 거의 모든 무리수 전기장에서 전기 양자 산책 연산자 WΦ의 스펙트럼 유형(ac, sc, pp)은 무엇인가?
• RQ3 전기 양자 산책의 리아프노프 지수는 닫힌 형태로 표현될 수 있으며, 그 동역학 및 스펙트럼 성질과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 양자 산책과 CMV 행렬 간의 유니타리 동치는 스퍼스에서 전체 CMV 행렬로의 국소화 결과 확장을 가능하게 하는가?
• RQ5 비틀림-시프트 유형 계수를 가진 준주기적 유니타리 밴드 행렬도 거의 모든 주파수에서 앤더슨 국소화를 보이는가?

주요 결과

• 거의 모든 무리수 전기장(르베그 측도 의미에서)에 대해, 전기 양자 산책의 절대 연속 스펙트럼은 공집합이며, 스펙트럼은 순수하게 점 스펙트럼이다.
• 거의 모든 무리수 전기장에서 전기 양자 산책의 고유함수는 지수적으로 감쇠하며, 이는 앤더슨 국소화를 확인한다.
• 무리수 전기장이 있는 전기 양자 산책 전반에 대해 유효한 명시적 해석적 표현을 유도한 리아프노프 지수를 도출하였다.
• 결과는 두 차원 비틀림-시프트 동역학계에서 생성된 Verblunsky 계수를 가진 희박한 CMV 행렬에 대해 앤더슨 국소화를 암시한다.
• ‘체질’ 기법을 사용하여, 비틀림-시프트 Verblunsky 계수를 가진 전체 CMV 행렬로의 국소화 결과를 확장하였다.
• 논문은 비틀림-시프트 유형 계수를 가진 준주기적 유니타리 밴드 행렬에 대해 앤더슨 국소화를 확립하였으며, 이는 이전 결과에서 리우빌 주파수에서 순수한 특이 연속 스펙트럼을 찾은 것을 보완한다.