[논문 리뷰] Aperiodic Subshifts of Finite Type on Groups

Emmanuel Jeandel|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 27.

Cellular Automata and Applications참고 문헌 19인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 유한형상화된 군이 강력한 비주기적 유한형 하위격자(Strongly Aperiodic Subshifts of Finite Type, SFTs)를 가질 수 있으려면 단어 문제(word problem)가 결정 가능해야 한다는 것을 증명한다. 이는 계산 가능성 이론을 활용하여 비재귀적으로 형상화된 군에 대해 계산 가능성을 제한하는 장벽을 규명한 것이다. 또한, $π_1$-자명한 군, 자유군, 톰슨의 군 $T$와 $V$, $PSL_2(Η)$를 포함한 새로운 군 클래스에 대해 강력한 비주기적 SFT를 구성한다. 이는 $Χ \times G$ 위에서 일반화된 카리 스타일의 구성 기법을 사용한 것이다. 주요 기여는 단어 문제의 여집합이 어떤 조건으로서 열거 환원 가능성을 통해 비주기적 SFT 존재 조건을 특성화한 것이다.

ABSTRACT

In this note we prove the following results: $\bullet$ If a finitely presented group $G$ admits a strongly aperiodic SFT, then $G$ has decidable word problem. More generally, for f.g. groups that are not recursively presented, there exists a computable obstruction for them to admit strongly aperiodic SFTs. $\bullet$ On the positive side, we build strongly aperiodic SFTs on some new classes of groups. We show in particular that some particular monster groups admits strongly aperiodic SFTs for trivial reasons. Then, for a large class of group $G$, we show how to build strongly aperiodic SFTs over $\mathbb{Z} imes G$. In particular, this is true for the free group with 2 generators, Thompson's groups $T$ and $V$, $PSL_2(\mathbb{Z})$ and any f.g. group of rational matrices which is bounded.

연구 동기 및 목표

• 계산 가능성 성질과 관련하여 어떤 가산 군이 강력한 비주기적 하위격자 유한형 타입(SFTs)을 가질 수 있는지를 특성화하는 것.
• 재귀적으로 형상화된 군이 이러한 SFT를 가질 수 없을 경우의 계산 가능성 이론적 장벽을 열거 환원 가능성을 통해 규명하는 것.
• 몬스터 군과 $Χ \times G$ (일부 $G$에 대해)와 같이 이전에 탐색되지 않은 군 클래스에 대해 강력한 비주기적 SFT의 명시적 예를 구성하는 것.
• 카리의 타일링 구성 기법을 일반화하여, $PSL_2(\mathbb{Z})$와 톰슨의 군을 포함한 광범위한 군 클래스 $G$에 대해 $Χ \times G$ 위에서 비주기적 SFT를 생성하는 것.
• 군의 구조, 역학적 비주기성, 계산 가능성 간의 관계를, 특히 단어 문제의 관점에서 명확히 하는 것.

제안 방법

• 자유군 $\mathbb{F}_p$ 위에서 효과적인 닫힌 집합을 사용하여 금지된 유한 패턴을 피하는 구성(configuration)를 정의하고, 이를 프로디스크리트 위상에서 닫힌 부분집합으로 간주한다.
• 계산 가능성 이론을 적용하여 재귀적으로 형상화된 군의 경우, 정상적으로 비주기적인 효과적인 닫힌 하위격자가 존재하면 단어 문제의 여집합이 단어 문제로 열거 환원 가능하다는 것을 보인다.
• 강력한 비주기적 SFT를 가질 수 있는 군을 특성화하기 위해, 유리수 좌표를 가진 다면체 위에서 연속적인 군 작용을 통해 PA’-인식 가능성을 도입한다.
• 군 작용을 유리수 다면체 위의 조각별 애핀 변환에 통합하여 카리의 구성 기법을 일반화함으로써, 극한 집합에서 유일하게 고정점을 가지는 원소가 항등원 뿐임을 보장한다.
• 표현의 기하학적 기하학적 성질을 활용하여, 극한 집합에서 점을 고정하는 원소는 반드시 항등원이어야 하며, 이는 비주기성을 보장한다.
• 유리수 다면체 $T'$ 위에서 유한 개의 조각별 애핀 변환 $\mathcal{F}$ 를 구성하여, 군 $G_{\mathcal{F}}$ 가 원래 군 $G$ 와 동형이며, 극한 집합 $T_{\mathcal{F}}$ 가 일반적인 점의 궤도를 포함하도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한형상화된 군 중에서 강력한 비주기적 SFT를 가질 수 있는 것은 어떤 것인지, 그리고 그들이 만족해야 할 계산 가능성 제약 조건은 무엇인가?
• RQ2 군 위에 강력한 비주기적 SFT가 존재하는가를 단어 문제의 성질, 특히 열거 환원 가능성으로 특성화할 수 있는가?
• RQ3 비재귀적으로 형상화된 군의 경우, 강력한 비주기적 SFT를 가질 수 없는 정확한 계산 가능성 이론적 장벽은 무엇인가?
• RQ4 카리의 구성 기법을 $\mathbb{Z} \times G$ 에 대해 광범위한 군 클래스 $G$ 에 대해 일반화하여 비주기적 SFT를 생성할 수 있는가?
• RQ5 톰슨의 군 $T$와 $V$, $PSL_2(\mathbb{Z})$, 또는 자유군과 같은 군들은 강력한 비주기적 SFT를 가질 수 있으며, 그 이유는 무엇인가?

주요 결과

• 강력한 비주기적 SFT를 가진 유한형상화된 군 $G$ 는 결정 가능한 단어 문제를 가져야 하며, 이는 단어 문제의 여집합이 단어 문제로 열거 환원 가능하기 때문이다.
• 재귀적으로 형상화된 군의 경우, 정상적으로 비주기적인 효과적인 닫힌 하위격자가 존재하면 단어 문제의 여집합이 단어 문제로 열거 환원 가능하다.
• 자유군 $\mathbb{F}_2$ 는 PA’-인식 가능하며, 이는 일반화된 카리 구성 기법을 통해 강력한 비주기적 SFT를 가짐을 의미한다.
• 톰슨의 군 $V$ 는 PA’-인식 가능하며, 따라서 강력한 비주기적 SFT를 가진다. 이는 조각별 애핀 변환을 통한 캄토어 집합 위의 연속적 군 작용을 구성함으로써 이루어진다.
• 이 구성은 $PSL_2(\mathbb{Z})$, 톰슨의 군 $T$와 $V$, 그리고 유계된 유리수 행렬로 생성되는 모든 유한 생성 군을 포함한 광범위한 군 클래스 $G$ 에 대해 $\mathbb{Z} \times G$ 위에서 강력한 비주기적 SFT를 생성한다.
• 몬스터 군(나쁜 성질을 지닌 무한 단순군)은 강력한 비주기적 SFT를 가지지만, 이 구성은 열악하고 자명한 성격을 띤다.