[논문 리뷰] Applications of Distance Correlation to Time Series

Richard A. Davis, Muneya Matsui외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 17.

Advanced Statistical Methods and Models참고 문헌 23인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 거리 상관관계 프레임워크를 사용하여 정 stationarity한 단변량 및 다변량 시간열에서 지연된 의존성을 측정하기 위해 자가 및 교차 거리 상관함수(ADCF 및 XDCF)를 도입한다. 강한 혼합 조건 하에서, 저자들은 표본 ADCF 및 XDCF의 점근적 분포를 수립하여 AR 모형에 대한 순차적 의존성 검정 및 적합도 검정에서의 유용성을 입증한다. 이때, 귀무가설 하에서 ADCF의 점근적 분포는 i.i.d. 시퀀스의 경우와 상당히 다름을 보여준다.

ABSTRACT

The use of empirical characteristic functions for inference problems, including estimation in some special parametric settings and testing for goodness of fit, has a long history dating back to the 70s (see for example, Feuerverger and Mureika (1977), Csorgo (1981a,1981b,1981c), Feuerverger (1993)). More recently, there has been renewed interest in using empirical characteristic functions in other inference settings. The distance covariance and correlation, developed by Szekely and Rizzo (2009) for measuring dependence and testing independence between two random vectors, are perhaps the best known illustrations of this. We apply these ideas to stationary univariate and multivariate time series to measure lagged auto- and cross-dependence in a time series. Assuming strong mixing, we establish the relevant asymptotic theory for the sample auto- and cross-distance correlation functions. We also apply the auto-distance correlation function (ADCF) to the residuals of an autoregressive processes as a test of goodness of fit. Under the null that an autoregressive model is true, the limit distribution of the empirical ADCF can differ markedly from the corresponding one based on an iid sequence. We illustrate the use of the empirical auto- and cross-distance correlation functions for testing dependence and cross-dependence of time series in a variety of different contexts.

연구 동기 및 목표

• 지연된 의존성을 측정하기 위해 자가 및 교차 거리 상관함수를 정의하여 거리 상관관계를 시간열에 확장하는 것.
• 강한 혼합 조건 하에서 표본 자가 및 교차 거리 상관함수의 점근적 이론을 개발하는 것.
• AR 모형의 잔차에 대해 자가 거리 상관함수를 적용하여 적합도 검정으로 사용하는 것.
• AR 모형의 귀무가설 하에서 경험적 ADCF의 점근적 분포가 i.i.d. 시퀀스의 경우와 뚜렷하게 다름을 보여주는 것.
• 비선형 및 비정규 의존성을 탐지하기 위한 기존 ACF에 대한 강력한 대안을 제공하는 것.

제안 방법

• Székely와 Rizzo(2009)의 거리 공분산 프레임워크를 사용하여 자가 거리 상관함수(ADCF) 및 교차 거리 상관함수(XDCF)를 정의하는 것.
• 경험적 특성함수와 U-통계량을 사용하여 시간열에 대한 거리 공분산 및 상관관계의 경험적 버전을 구성하는 것.
• 강한 혼합 조건 하에서, 유계 집합 위 연속함수 공간에서 스케일링된 경험적 ADCF 및 XDCF의 약한 수렴을 확립하는 것.
• 점근적 이론을 다변량 시간열의 순차적 의존성 및 교차의존성 검정에 적용하는 것.
• AR 모형의 귀무가설 하에서 경험적 ADCF의 점근적 분포를 유도하여, i.i.d. 경우와 다름을 보여주는 것.
• 푸리에 분석과 모멘트 경계를 사용하여 경험적 특성함수와 진짜 특성함수 간의 차이를 제어하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거리 상관관계는 어떻게 단변량 및 다변량 시간열에서 지연된 의존성을 측정하기 위해 적응화될 수 있는가?
• RQ2 강한 혼합 조건 하에서 표본 자가 및 교차 거리 상관함수의 점근적 분포는 무엇인가?
• RQ3 AR 모형의 귀무가설 하에서 경험적 ADCF의 점근적 분포는 i.i.d. 시퀀스의 경우와 어떻게 다름을 보이는가?
• RQ4 자가 거리 상관함수는 AR 과정에 대해 적합도 검정으로 효과적으로 사용될 수 있는가?
• RQ5 의존적인 시간열 자료에 적용되었을 때 경험적 거리 상관관계의 이론적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 강한 혼합 조건 하에서 표본 자가 거리 상관함수(ADCF)의 점근적 분포는 i.i.d. 시퀀스의 경우와 상당히 다름을 보인다. 특히 AR 모형의 귀무가설 하에서 그러한 차이가 두드러진다.
• 적절한 모멘트 및 혼합 조건 하에서 경험적 ADCF는 유계 집합 위 연속함수 공간에서 가우시안 과정으로 약하게 수렴한다.
• AR 모형의 귀무가설 하에서 ADCF의 점근적 분포는 i.i.d. 표본의 경우와 다름을 보여, 기존의 i.i.d. 경우에서의 임계값은 AR 모형의 적합도 검정에 대해 타당하지 않음을 시사한다.
• 이 방법은 자동상관계함수(ACF)가 실패하는 경우, 예를 들어 상관관계가 없지만 의존적인 금융 시간열 자료에서도 의존성을 성공적으로 탐지한다.
• 경험적 특성함수와 진짜 특성함수 간의 차이에 대한 이론적 경계는 강한 혼합 조건 하에서 경험적 거리 상관관계의 일致성을 보장한다.
• U-통계량과 모멘트 조건의 사용은 경험적 거리 상관함수의 수렴 속도 및 점근 정규성을 도출하는 데 기여한다.