[논문 리뷰] Applications of time-delayed backward stochastic differential equations to pricing, hedging and management of financial and insurance risks

Łukasz Delong|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 24.

Stochastic processes and financial applications인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 자본 보호 투자 및 변동 연금과 같이 과거 포트폴리오 가치 또는 전략에 의존하는 부채를 가진 금융 및 보험 문제를 모델링하기 위해 시간 지연이 있는 역확률미분방정식(Backward Stochastic Differential Equations, BSDEs)을 도입한다. 이 방정식에 대한 명시적 해 또는 수치적 해법 전략을 제공하며, 해의 유일성 또는 존재성에 대한 재정적 해석도 제시한다.

ABSTRACT

In this paper we investigate novel applications of a new class of equations which we call time-delayed backward stochastic differential equations. Time-delayed BSDEs may arise in finance when we want to find an investment strategy and an investment portfolio which should replicate a liability or meet a target depending on the applied strategy or the past values of the portfolio. In this setting, a managed investment portfolio serves simultaneously as the underlying security on which the liability/target is contingent and as a replicating portfolio for that liability/target. This is usually the case for capital-protected investments and performance-linked pay-offs. We give examples of pricing, hedging and portfolio management problems (asset-liability management problems) which could be investigated in the framework of time-delayed BSDEs. Our motivation comes from life insurance and we focus on participating contracts and variable annuities. We derive the corresponding time-delayed BSDEs and solve them explicitly or at least provide hints how to solve them numerically. We give a financial interpretation of the theoretical fact that a time-delayed BSDE may not have a solution or may have multiple solutions.

연구 동기 및 목표

• 자본 보호 상품 및 성과 연동 수익 구조와 같이 과거 포트폴리오 성과 또는 전략에 의존하는 부채를 가진 금융 및 보험 문제를 다루기 위해.
• 생명보험 맥락에서 자산-부채 관리를 위한 시간 지연이 있는 BSDEs를 사용한 수학적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 참여형 계약 및 변동 연금에서 발생하는 시간 지연이 있는 BSDEs에 대해 명시적 또는 수치적으로 다룰 수 있는 해를 제공하기 위해.
• 시간 지연이 있는 BSDEs에서 해의 존재성 또는 다중 해가 가지는 재정적 의미를 해석하기 위해, 이 방정식의 클래스에서 이론적 과제인 해의 존재성 또는 유일성 문제를 다루기 위해.

제안 방법

• 해의 해와 제어 과정의 과거 값에 의존하는 생성자와 종료 조건을 갖는 시간 지연이 있는 BSDEs를 수립하기 위해.
• 상태 및 제어 변수에 지연이 있는 설정에 대해 역확률미분방정식 이론을 적용하기 위해.
• 참여형 계약 맥락에서 선형 시간 지연이 있는 BSDEs의 구체적 경우에 대해 명시적 해를 도출하기 위해.
• 해가 닫힌 형태로 존재하지 않는 경우를 위한 수치적 해법 전략을 제공하기 위해.
• 적절한 가정 하에 마코프 성질과 마틴게일 표현을 사용하여 방정식을 분석하고 해를 구하기 위해.
• 해의 존재성 및 유일성과 같은 방정식의 수학적 성질을 실제 금융 및 보험 리스크 관리 문제와 연계하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 지연이 있는 BSDEs를 자본 보호 투자에서의 가격 책정 및 헤지 문제를 해결하는 데 어떻게 활용할 수 있는가?
• RQ2 시간 지연이 있는 BSDEs에서 해의 존재성 또는 다중 해가 가지는 수학적 및 재정적 함의는 무엇인가?
• RQ3 시간 지연이 있는 BSDEs를 참여형 생명보험 계약 및 변동 연금에서의 리스크 관리에 어떻게 적용할 수 있는가?
• RQ4 성과 연동 수익 구조 맥락에서 시간 지연이 있는 BSDEs의 명시적 해 형태는 무엇인가?
• RQ5 포트폴리오 또는 전략의 과거 값은 시간 지연 프레임워크에서 복제 전략과 부채 가격 책정에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 시간 지연이 있는 BSDEs는 변동 연금 및 참여형 계약과 같이 부채가 포트폴리오 또는 전략의 역사에 의존하는 금융 상품을 모델링하는 데 자연스러운 프레임워크를 제공한다.
• 선형 시간 지연이 있는 BSDEs와 같은 특정 경우에 대해 명시적 해가 도출되어 구조화된 상품의 직접적 가격 책정 및 헤지가 가능해진다.
• 닫힌 형태의 해가 존재하지 않는 경우를 위해 수치적 방법이 제안되어 실용적 적용 가능성을 보장한다.
• 논문은 시간 지연이 있는 BSDEs에서 해의 존재성 또는 다중 해가 포트폴리오 관리에서 재정적 불안정성 또는 경로에 따라 달라지는 리스크 노출을 의미함을 설명한다.
• 해의 다중성에 대한 재정적 해석은 지연된 의존성으로 인해 여러 헤지 전략이 존재할 수 있음을 드러내며, 이는 시장의 불완전성 또는 전략적 경로 의존성을 반영한다.
• 이 프레임워크는 포트폴리오를 기초자산이자 헤지 수단으로 간주함으로써 자산-부채 관리에 통합된 접근 방식을 가능하게 한다.