[논문 리뷰] Approximate controllabilty from the exterior of space-time fractional diffusion equations with the fractional Laplacian

Mahamadi Warma|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 22.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유계 도메인 내에서 분수 라플라스 연산자를 갖는 시공간 분수 확산 방정식에 대해, 도메인 외부에 국한된 제어를 사용하여 근사 제어 가능성을 확립한다. 주요 결과는 모든 $ T > 0 $, $ u_0 \in L^2(\Omega) $, 및 $ g \in \text{Test}((0,T) \times \mathcal{O}) $ 에 대해 시스템이 근사 제어 가능하다는 것이며, 여기서 $ \mathcal{O} \subset \mathbb{R}^N \setminus \Omega $ 이다. 반면 $ 0 < \alpha < 1 $ 일 때는 영 제어 가능성이 불가능하다.

ABSTRACT

Let $\Om\subset\RR^N$ a bounded domain with a Lipschitz continuous boundary. We study the controllability of the space-time fractional diffusion equation \begin{equation*} \begin{cases} \mathbb D_t^\alpha u+(-\Delta)^su=0\;\;&\mbox{ in }\;(0,T) imes\Omega u=g &\mbox{ in }\;(0,T) imes(\RR^N\setminus\Omega) u(0,\cdot)=u_0&\mbox{ in }\;\Omega, \end{cases} \end{equation*} where $u=u(t,x)$ is the state to be controlled and $g=g(t,x)$ is the control function which is localized in a subset $\mathcal O$ of $\Omc$. Here, $0 0$ be real numbers. After giving an explicit representation of solutions, we show that the system is always approximately controllable for every $T>0$, $u_0\in L^2(\Omega)$ and $g\in \mathcal D((0,T) imes\mathcal O)$ where $\mathcal O\subset(\RR^N\setminus\bOm)$ is any open set. The results obtained are sharp in the sense that such a system is never null controllable if $0<\alpha<1$. The proof of our result is based on a new unique continuation principle for the eigenvalues problem associated with the fractional Laplace operator subject to the zero exterior boundary condition that we have established.

연구 동기 및 목표

• 유계 도메인 내에서 분수 라플라스 연산자를 포함하는 시공간 분수 확산 방정식의 제어 가능성 성질을 조사하는 것.
• 제어가 도메인의 여집합의 부분집합에 국한될 때, 이러한 시스템이 외부에서 근사 제어 가능할 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• 근사 제어 가능성이 성립하는 정밀한 조건을 확립하고, $ 0 < \alpha < 1 $ 인 경우 영 제어 가능성이 불가능하다는 것을 입증하는 것.
• 영 외부 경계 조건을 갖는 분수 라플라스 연산자에 관련된 고유값 문제에 대한 새로운 유일 연속성 원리를 개발하여 주요 결과의 기초를 다지는 것.

제안 방법

• 분수 라플라스 연산자와 캄프로 시간 도함수를 사용하여 시공간 분수 확산 방정식의 해에 대한 명시적 표현을 유도한다.
• 영 외부 조건을 갖는 분수 라플라스 연산자의 고유값 문제에 대한 새로운 유일 연속성 원리를 적용하여 관측 가능성 추정을 확립한다.
• 제어 문제와 수반 시스템 간의 쌍대성 관계를 이용하여 근사 제어 가능성을 관측 가능성 부등식으로 환원한다.
• 제어 함수 $ g $ 가 $ \mathcal{O} \subset \mathbb{R}^N \setminus \Omega $ 에 국한되어 있을 때, 임의의 초기 상태 $ u_0 \in L^2(\Omega) $ 에 대해 시스템을 임의로 가까이 다가갈 수 있음을 입증한다.
• 함수해석학적 기법과 분수 슈바르츠 공간의 성질을 활용하여 해의 잘 정의됨과 정규성에 대해 분석한다.
• 관측 가능성 부등식이 그 영역에서 실패함에 따라 $ 0 < \alpha < 1 $ 일 때 시스템은 영으로 완전히 제어될 수 없음을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 라플라스 연산자를 갖는 시공간 분수 확산 방정식이 제어가 도메인 외부에 국한되어 있을 때 근사 제어 가능할 수 있는가?
• RQ2 이 분수 확산 설정에서 근사 제어 가능성을 위한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 왜 $ 0 < \alpha < 1 $ 일 때 영 제어 가능성이 불가능한가? 이는 분수 연산자의 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 영 외부 조건을 갖는 분수 라플라스 연산자에 대한 유일 연속성 성질은 제어 가능성 분석에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 제어 지지 집합 $ \mathcal{O} \subset \mathbb{R}^N \setminus \Omega $ 의 선택이 제어 가능성 달성에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 $ T > 0 $, $ u_0 \in L^2(\Omega) $, 및 $ g \in \mathcal{D}((0,T) \times \mathcal{O}) $ 에 대해 시스템은 근사 제어 가능하며, 여기서 $ \mathcal{O} \subset \mathbb{R}^N \setminus \Omega $ 는 임의의 열린 집합이다.
• 해당 조건 하에서 $ \mathcal{O} $ 의 구체적 위치에 관계없이 근사 제어 가능성이 성립한다. 유일한 조건은 $ \mathcal{O} $ 가 열려 있고 $ \Omega $ 의 외부에 포함되어 있어야 한다는 것이다.
• 영 제어 가능성은 $ 0 < \alpha < 1 $ 일 때 불가능하다. 이는 분수 시간 도함수에 기인한 근본적인 장애를 시사한다.
• 이 증명은 영 외부 조건을 갖는 분수 라플라스 연산자의 고유값 문제에 대한 새로운 유일 연속성 원리에 기반한다.
• 결과는 강력한 제어 가능성(예: 영 제어 가능성)이 동일 조건 하에 달성될 수 없다는 점에서 날카로운 결과이다.
• 비국소성과 캄프로 도함수의 기억 효과로 인해 분수 라플라스 연산자에 의해 유도된 시스템의 거동은 고전적 포아송 방정식과 본질적으로 다르다.