[논문 리뷰] Approximate functional equations for the Hurwitz and Lerch zeta-functions

Takashi Miyagawa|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 06.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 간단화된 안장점 방법을 사용하여 허위츠 및 레르히 제타함수에 대한 새로운 유형의 근사 함수방정식을 수립하며, 이는 이전 결과보다 더 유연한 매개수 선택을 가능하게 한다. 레르히 제타함수의 임계선에서 평균 제곱값의 주항목을 도출하여 이전 연구에 비해 보다 간결한 증명을 제공하며, $ 0 < \alpha < 1 $일 경우 오차 항이 $ O(T(/\log T)^{1/2}) $이고, $ \alpha = 1 $일 경우 $ O(T(/\log T)^{3/4}) $이다.

ABSTRACT

As one of the asymptotic formulas for the zeta-function, Hardy and Littlewood gave asymptotic formulas called the approximate functional equation. In 2003, R. Garunkštis, A. Laurinčikas, and J. Steuding (in [1]) proved the Riemann-Siegel type of the approximate functional equation for the Lerch zeta-function $ ζ_L (s, α, λ) = \sum_{n=0}^\infty e^{2πi n λ}(n + α)^{-s} $. In this paper, we prove another type of approximate functional equations for the Hurwitz and Lerch zeta-functions. R. Garunkštis, A. Laurinčikas, and J. Steuding (in \cite{GLS2}) obtained the results on the mean square values of $ ζ_L (σ+ it, α, λ) $ with respect to $ t $. We obtain the main term of the mean square values of $ ζ_L (1/2 + it, α, λ) $ using a simpler method than their method in [2].

연구 동기 및 목표

• 임의의 조건 $ 2\pi xy = |t| $ 하에서 합계 매개수 $ x $와 $ y $의 독립적 선택이 가능한 허위츠 및 레르히 제타함수에 대한 새로운 근사 함수방정식을 개발하여 이전 결과를 향상시키는 것.
• 이전 연구에서 사용된 복잡한 기법을 피하고, $ \zeta_L(1/2 + it, \alpha, \lambda) $ 에 대한 $ t $ 에 대한 평균 제곱값에 대한 더 단순하고 직접적인 증명을 제공하는 것.
• 클래식한 리만-지젤 형식 공식을 일반화하는 레르히 제타함수의 임계대역 내 명시적인 점근 전개를 도출하는 것.
• 오차 항이 매개수 $ \alpha $와 $ \lambda $에 어떻게 의존하는지 명확히 하여, 특히 $ \alpha < 1 $과 $ \alpha = 1 $의 경우를 구분하는 것.
• 새로운 근사 함수방정식을 사용하여 평균 제곱 공식의 주항목을 최소한의 해석적 복잡도로 추출할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 제타함수의 적분 표현에 안장점 방법을 적용하여 $ \zeta_L(s, \alpha, \lambda) $ 및 $ \zeta_H(s, \alpha) $ 에 대한 새로운 근사 함수방정식을 유도하는 것.
• 정적 위상 방법과 점근 전개 기법을 적용하여 임계대역 $ 0 \leq \sigma \leq 1 $ 내에서 허위츠 및 레르히 제타함수를 근사하며, 조건 $ 2\pi xy = |t| $ 를 만족하는 매개수 $ x $와 $ y $ 를 사용하는 것.
• 감마 함수의 함수방정식과 지수 위상 이동을 이용하여 이중 합을 $ \Gamma(1-s) $ 로 표현함으로써 두 합 간의 대칭성을 확보하는 것.
• 스티링어의 공식을 적용하여 감마 인자 bound를 구하고 점근 전개에서 오차 항을 제어하는 것.
• 카우치-슈바르츠 부등식을 적용하고 지수 합에 대한 추정을 통해 임계선에서 제타함수의 $ L^2 $-노름을 제한하는 것.
• 주어진 매개수 선택 $ x = t / (2\pi \sqrt{\log t}) $, $ y = \sqrt{\log t} $ 를 통해 평균 제곱 적분에서 주항목과 오차 항이 균형을 이루도록 하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조건 $ 2\pi xy = |t| $ 하에서 이전 결과와 달리 합계 범위 $ x $와 $ y $ 를 독립적으로 선택할 수 있는 허위츠 및 레르히 제타함수에 대한 새로운 근사 함수방정식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 Garunkštis, Laurinčićkas, 및 Steuding (2003)에서 사용된 것보다 더 단순한 방법으로 $ \zeta_L(1/2 + it, \alpha, \lambda) $ 의 평균 제곱값의 주항목을 도출할 수 있는가?
• RQ3 레르히 제타함수의 평균 제곱 공식에서 오차 항이 매개수 $ \alpha $와 $ \lambda $ 에 어떻게 의존하는가? 특히 $ \alpha = 1 $일 경우에 대해 설명할 수 있는가?
• RQ4 임계대역 내 레르히 제타함수의 점근 전개를 주항목과 오차 항을 명확히 분리하고 명시적인 bound를 포함하는 형태로 표현할 수 있는가?
• RQ5 적분 $ \int_1^T |\zeta_L(1/2 + it, \alpha, \lambda)|^2 dt $ 의 정확한 점근적 행동은 $ T \to \infty $ 일 때 어떻게 되며, 이는 $ \alpha $ 에 따라 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 논문은 임계대역 $ 0 \leq \sigma \leq 1 $ 에서 유효한 레르히 제타함수 $ \zeta_L(s, \alpha, \lambda) $ 와 허위츠 제타함수 $ \zeta_H(s, \alpha) $ 에 대한 새로운 근사 함수방정식을 수립하였으며, 다음 형태를 가진다: \\n$ \zeta_L(s, \alpha, \lambda) = \sum_{n \leq x} \frac{e^{2\pi i n \lambda}}{(n+\alpha)^s} + \frac{\Gamma(1-s)}{(2\pi)^{1-s}} \left\{ e^{\{(1-s)/2 - 2\alpha\lambda\} \pi i} \sum_{n \leq y} \frac{e^{2\pi i n(1-\alpha)}}{(n+\lambda)^{1-s}} + e^{\{-(1-s)/2 + 2\alpha(1-\lambda)\} \pi i} \sum_{n \leq y} \frac{e^{2\pi i n \alpha}}{(n+1-\lambda)^{1-s}} \right\} + O(x^{-\sigma}) + O(|t|^{1/2 - \sigma} y^{\sigma - 1}) $, \\n여기서 $ 2\pi x y = |t| $.
• 특히 $ \lambda = 1 $ 인 경우, 근사 함수방정식은 다음으로 단순화된다: \\n$ \zeta_H(s, \alpha) = \sum_{n \leq x} \frac{1}{(n+\alpha)^s} + \frac{\Gamma(1-s)}{(2\pi)^{1-s}} \left\{ e^{\pi i (1-s)/2} \sum_{n \leq y} \frac{e^{2\pi i n(1-\alpha)}}{n^{1-s}} + e^{-\pi i (1-s)/2} \sum_{n \leq y} \frac{e^{2\pi i n \alpha}}{n^{1-s}} \right\} + O(x^{-\sigma}) + O(|t|^{1-\sigma} y^{\sigma - 1}) $.
• 레르히 제타함수의 평균 제곱값은 $ \int_1^T |\zeta_L(1/2 + it, \alpha, \lambda)|^2 dt = T \log \frac{T}{2\pi} + O(T (\log T)^{1/2}) $ ($ 0 < \alpha < 1 $) 및 $ O(T (\log T)^{3/4}) $ ($ \alpha = 1 $) 를 만족하며, $ T \to \infty $ 일 때 성립한다.
• 평균 제곱 공식의 주항목 $ T \log \frac{T}{2\pi} $ 는 Garunkštis, Laurinčićkas, 및 Steuding (2003)에서 사용된 것보다 더 단순한 방법으로 도출되었으며, 새로운 근사 함수방정식과 지수 합의 정밀한 추정을 기반으로 한다.
• $ \alpha = 1 $ 인 경우 오차 항은 이전 결과보다 더 크지만, 유도 과정은 개념적·기술적으로 더 직접적이며 고급 스펙트럼 또는 복소해석학 도구의 필요성을 피한다.
• 논문은 $ \alpha < 1 $ 일 경우 제타함수가 길이 $ x \sim t / (2\pi \sqrt{\log t}) $ 의 부분합으로 잘 근사됨을 보이며, 나머지 항은 $ O(1) $ 으로 유계이다. 반면 $ \alpha = 1 $ 일 경우 오차는 $ O((\log t)^{1/4}) $ 이며, 이는 $ [1, T] $ 에서 적분 가능하다.