[논문 리뷰] Approximate unitary $t$-designs by short random quantum circuits using nearest-neighbor and long-range gates

Aram W. Harrow, Saeed Mehraban|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 18.

Mathematical Approximation and Integration인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 D차원 격자에서 근접 이웃 또는 장거리 게이트를 사용하는 짧은 무작위 양자 회로가 깊이 $\operatorname{poly}(t) \cdot n^{1/D}$ 에서 약한 유니터리 $t$-디자인을 달성함을 보여주며, 이는 이전의 선형 깊이 범위에 비해 크게 향상된 결과이다. 핵심 결과는 이러한 회로들이 하위선형 깊이에서 반농도(anti-concentration)를 보이며, 이는 $O(\sqrt{n})$ 깊이로도 양자 계산 우월성 실험에 충분하다는 것을 확인한다.

ABSTRACT

We prove that $poly(t) \cdot n^{1/D}$-depth local random quantum circuits with two qudit nearest-neighbor gates on a $D$-dimensional lattice with n qudits are approximate $t$-designs in various measures. These include the "monomial" measure, meaning that the monomials of a random circuit from this family have expectation close to the value that would result from the Haar measure. Previously, the best bound was $poly(t)\cdot n$ due to Brandao-Harrow-Horodecki (BHH) for $D=1$. We also improve the "scrambling" and "decoupling" bounds for spatially local random circuits due to Brown and Fawzi. One consequence of our result is that assuming the polynomial hierarchy (PH) is infinite and that certain counting problems are $\#P$-hard on average, sampling within total variation distance from these circuits is hard for classical computers. Previously, exact sampling from the outputs of even constant-depth quantum circuits was known to be hard for classical computers under the assumption that PH is infinite. However, to show the hardness of approximate sampling using this strategy requires that the quantum circuits have a property called "anti-concentration", meaning roughly that the output has near-maximal entropy. Unitary 2-designs have the desired anti-concentration property. Thus our result improves the required depth for this level of anti-concentration from linear depth to a sub-linear value, depending on the geometry of the interactions. This is relevant to a recent proposal by the Google Quantum AI group to perform such a sampling task with 49 qubits on a two-dimensional lattice and confirms their conjecture that $O(\sqrt n)$ depth suffices for anti-concentration. We also prove that anti-concentration is possible in depth O(log(n) loglog(n)) using a different model.

연구 동기 및 목표

• D차원 격자에서 짧은 무작위 양자 회로가 깊이 스케일링 $\operatorname{poly}(t) \cdot n^{1/D}$ 으로 약한 $t$-디자인을 형성할 수 있음을 입증함으로써, 이전의 $\operatorname{poly}(t) \cdot n$ 범위에 비해 향상된 결과를 확보하는 것.
• 낮은 깊이의 회로에서 출력 상태 확률의 반농도를 증명함으로써, 양자 계산 우월성을 입증하는 데 필수적인 성질를 확보하는 것.
• 공간적으로 국소적인 무작위 회로의 스캐러밍 및 디커플링 성질 분석을 확장하여 이전 연구의 결과를 향상시키는 것.
• Google Quantum AI 및 USTC의 최근 실험적 주장에 기반하여, $O(\sqrt{n})$ 깊이 회로에서 반농도가 실현 가능하다는 것을 확인하는 것.
• 낮은 깊이의 회로에서 하르 측도로의 수렴 측정법(예: 단항식, 충돌 확률)을 노름 등가성에 의해 통합하는 것.

제안 방법

• Brandão-Harrow-Horodecki(2014)의 $t$-디자인 구성법을 기반으로 하되, 저깊이 환경에 맞게 적응시킨다.
• 순열 연산자의 준직교성에 기반한 약한 디자인의 조합 분석을 통해 이전 연구의 기법을 확장한다.
• 반농도를 위한 새로운 노름을 도입하고, 저깊이 회로에서 다른 표준 노름과의 등가성을 증명한다.
• 장거리 무작위 회로에 대한 마르코프 체인 분석을 사용하여 충돌 확률을 제한하고, 크기 $O(n\ln^2 n)$ 에 해당하는 깊이 $O(\ln^3 n)$ 에서 반농도를 확립한다.
• 크라프치우크 다항식 항등식과 이항 노름의 직교성에 기반한 모멘트 및 수렴 속도 분석을 수행한다.
• 팔레이-지문드 부등식을 적용하여 큰 출력 진폭 확률의 하한을 도출하고, 반농도 성질을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 D차원 격자에서 무작위 양자 회로에 대해 깊이 $n$ 에 대해 하위선형일 때 약한 유니터리 $t$-디자인을 달성할 수 있는가?
• RQ2 근접 이웃 또는 장거리 게이트를 갖는 무작위 양자 회로에서 반농도를 달성하기 위해 필요한 최소 회로 깊이 또는 크기는 얼마인가?
• RQ3 낮은 깊이의 무작위 회로에서 다양한 수렴 측정법(예: 단항식, 충돌 확률) 간의 관계는 어떻게 되며, 이들은 상호 등가적인가?
• RQ4 다른 회로 모델을 사용할 경우 반농도 성질이 깊이 $O(\ln n \ln \ln n)$ 에서 달성 가능한가? 그리고 크기와 깊이 간의 상호 교환 관계는 어떠한가?
• RQ5 장거리 무작위 회로에서 반농도를 달성하기 위해 필요한 최소 회로 크기의 하한은 얼마인가?

주요 결과

• D차원 격자에서, 근접 이웃 게이트를 갖는 $\operatorname{poly}(t) \cdot n^{1/D}$-깊이의 국소 무작위 회로는 단항식 및 반농도를 포함한 모든 표준 측정법에서 약한 $t$-디자인을 형성한다.
• 두 차원 격자에서 반농도 성질은 깊이 $O(\sqrt{n})$ 에서 성립하며, 이는 Google Quantum AI 실험의 추측을 확인한다.
• 장거리 무작위 회로의 경우, 크기 $O(n\ln^2 n)$ 에서 반농도가 달성되며, 이는 깊이 $O(\ln^3 n)$ 에 해당한다. 이에 대응하는 최소 크기 하한은 $\Omega(n\ln n)$ 이다.
• 기타 모델은 깊이 $O(\ln n \ln \ln n)$ 에서 크기 $O(n\ln n \ln \ln n)$ 으로 반농도를 달성하며, 더 나은 깊이 스케일링을 보여준다.
• 기대 제곱 진폭 $\mathbb{E}_{C\sim\mu}|\braket{x}{C}{0}|^2$ 는 $\frac{1 + \frac{1}{\operatorname{poly}(n)}}{2^n}$ 이며, 네 번째 모멘트는 $\frac{2}{2^n(2^n+1)}\left(1 + \frac{1}{\operatorname{poly}(n)}\right)$ 이다. 이는 근접 최대 엔트로피임을 확인한다.
• 팔레이-지문드 부등식을 사용하여 $|\braket{x}{C}{0}|^2 \geq \frac{1}{2^{n+1}}$ 일 확률은 $1/8 - \frac{1}{\operatorname{poly}(n)}$ 이상임을 도출하였으며, 이는 강력한 반농도 성질을 입증한다.