[논문 리뷰] Approximating fixed points of enriched nonexpansive mappings by Krasnoselskij iteration in Hilbert spaces

Vasile Berinde|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 05.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 44인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간에서 비확장성의 일반화로, 입력의 차이와 출력의 차이의 선형 조합을 포함하는 매개변수화된 부등식을 통해 확장된 비확장성 사상의 새로운 클래스인 강화된 비확장성 사상들을 도입한다. 고정점 근사에 대한 크라스노셀스키 반복의 강수렴 및 약수렴 정리를 증명하며, 브라우더와 페트리슈신의 고전적 결과를 일반화하고 다양한 수축형 사상들을 더 넓은 프레임워크로 통합한다.

ABSTRACT

Using the technique of enrichment of contractive type mappings by Krasnoselskij averaging, presented here for the first time, we introduce and study the class of {\it enriched nonexpansive mappings} in Hilbert spaces. In order to approximate the fixed points of enriched nonexpansive mappings we use the Krasnoselskij iteration for which we prove strong and weak convergence theorems. Examples to illustrate the richness of the new class of contractive mappings are also given. Our results in this paper extend some classical convergence theorems established by Browder and Petryshyn in [Browder, F. E., Petryshyn, W. V., {\it Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert space}, J. Math. Anal. Appl. {\bf 20} (1967), 197--228.] from the case of nonexpansive mappings to that of enriched nonexpansive mappings, thus including many other important related results from literature as particular cases.

연구 동기 및 목표

• 힐버트 공간에서 비확장성 사상의 일반화로 새로운 사상 클래스인 강화된 비확장성 사상을 도입하고 연구한다.
• 비선형 해석학의 두 기본 문제인 고정점 존재성과 이의 근사 문제를 이 새로운 클래스에 대해 다룬다.
• 브라우더와 페트리슈신의 고전적 수렴 정리를 비확장성 사상에서 강화된 비확장성 사상으로 일반화한다.
• 강화된 비확장성 사상 클래스가 비확장성, 준비확장성, 리프시츠 연속성 및 일반화된 페세코트랙티브 사상들을 포함함을 보여, 이 클래스의 풍부성과 일반성을 입증한다.
• 강화된 비확장성 사상의 맥락에서 크라스노셀스키 반복에 대한 강수렴 및 약수렴 결과를 수립한다.

제안 방법

• 입력의 차이와 출력의 차이의 선형 조합을 포함하는 부등식 ||b(x−y)+Tx−Ty|| ≤ (b+1)||x−y||를 통해 b ∈ [0,∞)에 대해 강화된 비확장성 사상을 정의하며, 이는 비확장성 조건의 일반화이다.
• 고정점을 근사하기 위해 크라스노셀스키 반복 스킴을 사용한다: x_{n+1} = (1−λ)x_n + λTx_n, 여기서 λ ∈ (0,1).
• 강화된 비확장성 사상의 고정점 집합이 힐버트 공간의 유계, 닫힘, 볼록 부분집합에서 비어 있지 않고 닫혀 있으며 볼록하다는 것을 증명한다.
• 고정점 집합이 비어 있고 사상이 유계일 경우, 크라스노셀스키 반복의 강수렴을 확립한다.
• 집합 C가 유계, 닫힘, 볼록일 경우, 반복 수열이 고정점으로 약수렴함을 증명한다.
• 단조성, 볼록성, 힐버트 공간의 기하적 성질을 활용하여 수렴 행동을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비확장성 사상의 클래스는 고정점 존재성과 반복적 수렴 성질을 유지하면서 더 일반적인 수축형 사상들을 포함하도록 확장될 수 있는가?
• RQ2 힐버트 공간에서 강화된 비확장성 사상에 대해 크라스노셀스키 반복이 고정점으로 강수렴하고 약수렴하는가?
• RQ3 새로운 강화된 비확장성 사상 클래스는 준비확장성, 격고로 비확장성 또는 페세코트랙티브 사상과 같은 기존 클래스와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 크라스노셀스키 평균화를 통한 강화 기법을 사용하여 기존의 비선형 사상에 대한 수렴 결과를 통합하거나 일반화할 수 있는가?
• RQ5 강화된 비확장성 사상의 고정점 집합의 구조적 및 위상적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 힐버트 공간의 유계, 닫힘, 볼록 부분집합 위의 모든 강화된 비확장성 사상은 고정점을 가지며, 고정점 집합은 볼록하다.
• 고정점 집합이 비어 있고 사상이 유계일 경우, 고정점 근사에 대한 크라스노셀스키 반복 {x_{n+1} = (1−λ)x_n + λTx_n} (λ ∈ (0,1)) 은 고정점으로 강수렴한다.
• 도메인 C가 유계, 닫힘, 볼록일 경우, 사상의 유계성 조건 없이도 크라스노셀스키 반복은 고정점으로 약수렴한다.
• 강화된 비확장성 사상 클래스는 비확장성 사상 클래스를 엄밀히 포함하며, 충분히 작은 리프시츠 상수를 가진 모든 준비확장성 및 리프시츠 연속 사상들을 포함한다.
• 구간 [1/2, 2]에서 T(x) = 1/x는 고정점이 x=1에 유일하게 존재하는 3/2-강화된 비확장성 사상이며, 이는 표준 비확장성 사상 이외의 풍부한 성질을 보여준다.
• 결과들은 브라우더와 페트리슈신의 고전적 수렴 정리를 일반화하며, 문헌에 알려진 많은 결과들을 특수한 경우로 포함한다.