[论文解读] Approximating local properties by tensor network states with constant bond dimension

Yichen Huang|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2019

Quantum many-body systems参考文献 36被引用 10

一句话总结

该论文证明了具有Rényi纠缠熵面积律（Rényi指数α < 1）的量子多体态可用bond维数有界的张量网络态进行近似。在一维情况下，bond维数为poly(1/δ)的矩阵乘积态（MPS）可将所有局域性质近似到精度δ；在二维情况下，bond维数为指数级小e^{O(1/δ)}的投影纠缠对态（PEPS）可实现相同效果。该结果可推广至具有对数修正的面积律情形。

ABSTRACT

Suppose we would like to approximate all local properties of a quantum many-body state to accuracy $δ$. In one dimension, we prove that an area law for the Renyi entanglement entropy $R_α$ with index $α&lt;1$ implies a matrix product state representation with bond dimension $\mathrm{poly}(1/δ)$. For (at most constant-fold degenerate) ground states of one-dimensional gapped Hamiltonians, it suffices that the bond dimension is almost linear in $1/δ$. In two dimensions, an area law for $R_α(α&lt;1)$ implies a projected entangled pair state representation with bond dimension $e^{O(1/δ)}$. In the presence of logarithmic corrections to the area law, similar results are obtained in both one and two dimensions.

研究动机与目标

• 建立对近似量子多体态局域可观测量所需bond维数的严格界，精度为δ。
• 弥合一维与二维中面积律与高效张量网络近似之间的差距，尤其在热力学极限下。
• 证明对于一维非简并哈密顿量的基态，bond维数在1/δ上几乎线性增长，优于先前结果。
• 将这些结果推广至具有对数修正的面积律系统，在1D与2D中均提供相应界。
• 证明即使纠缠熵不被冯·诺依曼熵有界，矩阵乘积态（MPS）与投影纠缠对态（PEPS）仍能高效表示局域性质。

提出的方法

• 使用Rényi纠缠熵Rα（α < 1）作为纠缠度量，其比冯·诺依曼熵更易于界定。
• 对系统的局域区域应用截断论证，利用引理2界定截断后局域可观测量期望值的误差。
• 通过拼接小块上的局部近似（MPS）并在二维中使用等距变换将截断态映射为全局PEPS，从而构造二维PEPS，且bond维数可控。
• 采用周期性拼接构造并引入酉变换对局域误差进行平均，确保所有局域可观测量的全局保真度达到δ。
• 利用MPS的规范型确保最优截断，并通过Rényi熵约束界定Schmidt系数。
• 通过调整截断维数D′的标度，将对数修正引入面积律，最终bond维数中包含对数因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 Rényi纠缠熵面积律（α < 1）是否能保证使用bond维数有界的张量网络对局域性质实现高效近似？
• RQ2 在一维量子态中，矩阵乘积态（MPS）的最小bond维数是多少，才能将所有局域可观测量近似到精度δ？
• RQ3 在相同纠缠条件下，二维中投影纠缠对态（PEPS）是否具有类似的bond维数界？
• RQ4 面积律的对数修正如何影响准确近似所需的bond维数？
• RQ5 在热力学极限下，即使冯·诺依曼熵面积律不成立，能否使局域可观测量的bond维数与系统尺寸无关？

主要发现

• 在一维情况下，Rényi纠缠熵满足α < 1的面积律，意味着存在bond维数为poly(1/δ)的MPS近似，可将所有局域性质近似到精度δ。
• 对于一维非简并哈密顿量的基态，所需bond维数在1/δ上几乎线性增长。
• 在二维情况下，Rα（α < 1）的面积律意味着存在bond维数为e^{O(1/δ)}的PEPS近似，精度同样为δ。
• 当存在对数修正时，一维MPS的bond维数按poly(1/δ)增长，其幂次取决于修正系数cα。
• 在二维中存在对数修正时，PEPS近似的bond维数为e^{~O(1/δ)}，其中~O隐藏了多项对数因子。
• 该构造通过使用等距和酉平均的局域MPS近似拼接，实现了全局精度，同时保持bond维数有界。