[논문 리뷰] Approximation by Quantum Circuits

Emanuel Knill|ArXiv.org|1995. 08. 08.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 141

한 줄 요약

이 논문은 고정 크기의 양자 게이트를 사용하는 양자 회로의 근사 능력에 대해 강력한 하한을 설정하며, 거의 모든 유니터리 연산, 상태, 밀도 행렬이 근사하기 위해 지수적으로 많은 게이트가 필요하다는 것을 증명한다. 또한 확률적이고 확인 가능한 고전적 문제들 역시 양자 회로에서 지수적으로 어려운 것으로 나타나, 소규모 게이트 집합을 사용한 다항식 시간 근사의 가능성을 반증한다.

ABSTRACT

In a recent preprint by Deutsch et al. [1995] the authors suggest the possibility of polynomial approximability of arbitrary unitary operations on $n$ qubits by 2-qubit unitary operations. We address that comment by proving strong lower bounds on the approximation capabilities of g-qubit unitary operations for fixed g. We consider approximation of unitary operations on subspaces as well as approximation of states and of density matrices by quantum circuits in several natural metrics. The ability of quantum circuits to probabilistically solve decision problem and guess checkable functions is discussed. We also address exact unitary representation by reducing the upper bound by a factor of n^2 and by formalizing the argument given by Barenco et al. [1995] for the lower bound. The overall conclusion is that almost all problems are hard to solve with quantum circuits.

연구 동기 및 목표

• 유니터리 연산, 상태, 밀도 행렬을 근사할 때의 악조건 하에서의 양자 회로 복잡도를 조사한다.
• n 큐비트에서의 임의의 유니터리 연산이 오직 두 큽드 게이트만을 사용하여 효율적으로 근사될 수 있다는 추측에 도전한다.
• 제한된 크기의 양자 회로로 해결할 수 있는 고전적 결정 문제 및 확인 가능한 문제의 수를 정량화한다.
• 양자 회로에서 정확한 및 근사적인 유니터리 표현에 대한 하한을 체계화하고 개선한다.

제안 방법

• 한정된 크기의 양자 회로가 근사할 수 있는 상태 또는 유니터리 연산의 수를 제한하기 위해 힐버트 공간 내의 수세기 원리(Counting arguments)를 사용한다.
• 밀도 행렬과 양자 상태의 근사 품질을 측정하기 위해 총 변화 거리(Total variation distance)와 힐버트-슈미트 노름(Hilbert-Schmidt norm)을 적용한다.
• 고차원 힐버트 공간의 구 위에서 측도 이론 기법을 사용하여 근사 집합의 체적 한계를 유도한다.
• 기존 결과를 개선하여 정확한 유니터리 표현에 대한 상한을 n 배로 줄였다.
• 특이값 분해와 유니터리 동치를 활용하여 행렬 근사와 상태 및 연산의 정밀도를 연결한다.
• 확률적 및 확인 가능한 함수 계산을 분석하여 제한된 양자 회로로 해결 가능한 문제의 수를 제한한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 g 큐비트 게이트만을 사용하여 n 큐비트에서의 임의의 유니터리 연산을 효율적으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 제한된 크기의 양자 회로는 주어진 상태나 밀도 행렬을 얼마나 근사할 수 있는가?
• RQ3 고정된 수의 게이트를 가진 양자 회로가 해결할 수 있는 고전적 결정 문제나 확인 가능한 문제의 비율은 얼마인가?
• RQ4 임의의 양자 상태나 유니터리 연산을 근사하기 위해 필요한 최소한의 게이트 수는 얼마인가?
• RQ5 악조건 하에서 양자 회로의 근사 능력은 고전적 회로 복잡도와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 어느 것도 지수적 수준 이하의 게이트를 사용하는 양자 회로로도 거의 모든 양자 상태는 무작위 근사보다 더 나은 근사가 불가능하다.
• g-게이트 양자 회로로 이득 q로 추측할 수 있는 함수의 수는 최대 (4q)^D × (4√(qb))^(b·n₀/g)이며, 이는 지수적 난이도를 암시한다.
• 정확한 유니터리 표현에 대한 상한이 n 배로 줄어들어 이전 연구를 개선했다.
• 총 변화 거리로 밀도 행렬을 근사할 경우, 비최적이지만 강력한 하한이 확립된다.
• 한 상태에서 다른 상태의 근사로 변환하는 최소한의 양자 회로는 거의 모든 상태 쌍에 대해 지수적으로 많은 게이트가 필요하다.
• 확률적이고 확인 가능한 고전적 문제들은 양자 회로에서 지수적으로 어려운데, 이는 제한된 크기의 회로로 해결 가능한 문제의 비율이 극히 미미하다는 것을 의미한다.