[논문 리뷰] Approximation in C^N

N. Levenberg|ArXiv.org|2006. 11. 08.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 42인용 수 34

한 줄 요약

이 서베이에서는 여러 복소변수 이론의 도구를 사용하여 복소수 공간 ℂ^N에서의 근사 이론을 탐구하며, 다항근사, 다중하향함수, 복소 면모-암페르 연산자에 초점을 맞춘다. 주요 기여는 비다중포화(compactly pluripolar) 집합 K에 대해 L-극값 함수 V_K^*의 면모-암페르 측도 (dd^c V_K^*)^N 이 고차원에서 자연스러운 평형 측도로 작용한다는 것을 입증하는 것이다. 이는 ℂ에서의 고전적 결과를 고차원으로 일반화한 것이다.

ABSTRACT

This is a survey article on selected topics in approximation theory. The topics either use techniques from the theory of several complex variables or arise in the study of the subject. The survey is aimed at readers having an acquaintance with standard results in classical approximation theory and complex analysis but no apriori knowledge of several complex variables is assumed.

연구 동기 및 목표

• 몇몇 복소변수 이론의 기법을 사용하여 ℂ에서의 고전적 근사 이론 결과를 ℂ^N으로 확장한다.
• K ⊂ ℂ^N 에 대해 K의 근방에서 해석적 함수들이 K 위에서 다항함수로 균일하게 근사 가능한 조건을 규명한다.
• L-극값 함수 V_K^*와 그 면모-암페르 측도 (dd^c V_K^*)^N 이 고차원 복소근사 이론에서 자연스러운 평형 측도로 기능하는 바를 규명한다.
• ℂ^N에서 다항근사의 다중근사성, 다중하향함수, 면모-암페르 성질(Mergelyan 성질) 간의 관계를 탐구한다.
• 고차원에서의 극값 배열, 마르코프 부등식, 조화근사와 관련된 열린 문제를 탐색한다.

제안 방법

• ℂ^N에서의 하향집합과 극값 함수를 모델링하기 위해 다중하향함수와 그에 관련된 코어를 사용한다.
• 복소 면모-암페르 연산자 (dd^c)^N 을 적용하여 비음수 측도 (dd^c V_K^*)^N 을 비다중포화(compact) 집합 K 위에 정의함으로써 ℂ에서의 평형 측도를 고차원으로 일반화한다.
• 최대 다중하향함수의 개념(즉, (dd^c u)^N = 0 를 만족하는 함수)을 사용하여 고차원에서 조화함수 유사 행동을 특성화한다.
• K를 포함하는 도메인 D에 대해 상대극값 함수 ω*(·, K, D) 를 도입하여 컴팩트 집합 위의 근사 문제를 연구한다.
• 스토크스 정리와 코어 이론적 형식을 사용하여 국소적으로 유계인 다중하향함수 v에 대해 (dd^c v)^N 을 정의한다.
• 기초적인 복소다양체 이론 결과(예: Bedford-Taylor 이론)와 Range 및 Hörmander의 적분 공식을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 비다중포화(compactly pluripolar) 집합 K ⊂ ℂ^N 에 대해, K 근방에서 해석적 함수들이 K 위에서 다항함수로 균일하게 근사 가능한가?
• RQ2 비다중포화(compactly pluripolar) 집합 K ⊂ ℂ^N 에 대해 면모-암페르 측도 (dd^c V_K^*)^N 이 평형 측도로 기능하는가?
• RQ3 비다중포화(compactly pluripolar) 집합 K ⊂ ℂ^N 에 대해, Fekete 배열의 정규화된 이산 측도 μ_n 이 약한-* 수렴으로 (dd^c V_K^*)^N 으로 수렴하는가?
• RQ4 내부가 비어있지 않은 고체 볼록집합 K ⊂ ℝ^N (N ≥ 3) 중에서 조화극값 배열이 존재하여 조화함수를 균일하게 근사하는 것은 어떤 것인가?
• RQ5 만약 컴팩트 집합 K ⊂ ℂ^N 이 마르코프 부등식을 만족한다면, 반드시 정규적이거나 비다중포화여야 하고, 성질 (HCP) 도 만족해야 하는가?

주요 결과

• 모든 비다중포화(compactly pluripolar) 집합 K ⊂ ℂ^N 에 대해, L-극값 함수 V_K^* 는 K 외부에서 (dd^c V_K^*)^N = 0 를 만족함으로써 보완부에서 최대성의 성질을 보인다.
• 면모-암페르 측도 (dd^c V_K^*)^N 이 K 에 대해 평형 측도로 작용하며, 이는 ℂ에서의 그린 함수의 평형 측도와 유사하다.
• 상대극값 함수 ω*(·, K, D) 는 D \∓ K 내부에서 (dd^c ω*)^N = 0 를 만족함으로써 상대근사 이론에서의 역할을 확인한다.
• ℂ^N 내의 컴팩트 집합 K 위에서 해석함수의 다항근사 균일성은 오차 함수 d_n(f, K) 의 감쇠 속도에 의해 특성화되며, f 가 반지름 R > 1 인 구 위에서 해석적이라면 limsup d_n(f, K)^{1/n} ≤ 1/R 를 만족한다.
• 본 서베이에서는 국소적으로 유계인 다중하향함수에 대해 코어 이론적 통합을 통해 복소 면모-암페르 연산자 (dd^c)^N 이 잘 정의됨을 입증한다.
• 본 서베이에서는 다항근사의 근사성과 Mergelyan 성질이 극값 함수의 구조와 그 면모-암페르 측도에 깊이 연관되어 있음을 확인한다.