[논문 리뷰] Approximation Limits of Linear Programs (Beyond Hierarchies)

Gábor Braun, Samuel Fiorini외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 04.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 31인용 수 40

한 줄 요약

이 논문은 CLIQUE와 같은 조합 최적화 문제 및 준정방행렬 프로그래밍(SDP)을 근사하는 다항식 크기의 선형 프로그래밍(LP)에 대해 조건부가 아닌 하한을 설정한다. 고유한 분리 문제(UDISJ)에서 유도된 행렬의 비음수 랭크와 근접도를 연결함으로써, CLIQUE에 대한 $O(n^{1/2-\theta})$-근사치를 요구하는 LP의 크기는 $2^{n^{ ext{Ω}(\epsilon)}}$이 되며, 이는 계층 구조를 초월한 일반적인 LP에 대해서도 성립한다.

ABSTRACT

We develop a framework for approximation limits of polynomial-size linear programs from lower bounds on the nonnegative ranks of suitably defined matrices. This framework yields unconditional impossibility results that are applicable to any linear program as opposed to only programs generated by hierarchies. Using our framework, we prove that O(n^{1/2-eps})-approximations for CLIQUE require linear programs of size 2^{n^Ω(eps)}. (This lower bound applies to linear programs using a certain encoding of CLIQUE as a linear optimization problem.) Moreover, we establish a similar result for approximations of semidefinite programs by linear programs. Our main ingredient is a quantitative improvement of Razborov's rectangle corruption lemma for the high error regime, which gives strong lower bounds on the nonnegative rank of certain perturbations of the unique disjointness matrix.

연구 동기 및 목표

• NP-난이도 문제인 CLIQUE를 근사하는 데 있어 다항식 크기의 LP 이완에 대해 조건부가 아닌 하한을 설정하는 것.
• LP의 근사 한계를 관련 행렬의 비음수 랭크 하한으로 줄이는 일반적인 프레임워크를 개발하는 것.
• 이 프레임워크를 확장하여 준정방행렬 프로그래밍(SDP)의 근사적 확장 표현에 적용하고, LP가 SDP를 근사할 때도 유사한 제약 조건이 존재함을 보이는 것.
• 이전의 계층 기반 분석의 한계를 극복하기 위해, 이 프레임워크를 리프팅-프로젝션 방법에서 유도된 LP에 국한하지 않고, 모든 LP에 적용하는 것.
• 특히 CLIQUE 및 Max CUT와 같은 문제에 대해 얻을 수 있는 근사 보장이 다항식 크기의 LP로는 달성되지 않으며, 대신 SDP나 조합 기법과 같은 비-LP 기법이 필요함을 제시하는 증거를 제공하는 것.

제안 방법

• 다각형 $P$ (해가 존재하는 해집합)와 목적 함수 표현 $Q$의 쌍에서 유도된 슬랙 행렬의 비음수 랭크를 경계함으로써, 조합 최적화 문제의 근사 문제를 줄이는 것.
• 특히 이동된 고유한 분리 행렬(UDISJ)에 대해 고오차 영역에서의 라즈보로프의 사각형 손상 보조정리를 정량적으로 강화한 새로운 기법을 사용하는 것.
• 모든 항목에 양의 오프셋을 더한 UDISJ 행렬로부터 유도된 행렬에 비음수 랭크 하한을 적용하여, 근사적 LP 이완을 모델링하는 것.
• 다각형 $P$와 확대된 $\rho Q$ 사이에 끼워진 임의의 다각형 $K$는 $P$와 $\rho Q$의 슬랙 행렬의 비음수 랭크 이상의 확장 복잡도를 가져야 한다는 것을 증명하는 것.
• 기존의 UDISJ에 대한 통신 복잡도 하한을 활용하여 비음수 랭크 하한을 도출하고, 이를 통해 지수적 크기의 LP 크기 하한을 이끌어내는 것.
• 이 프레임워크를 CLIQUE와 SDP 근사에 모두 적용하여, $\rho$가 상수일 경우 어떤 다각형 이완이라도 확장 복잡도가 $2^{\Omega(n)}$ 이상이 되며, $\rho = O(n^\beta)$이고 $\beta < 1/2$일 경우 확장 복잡도가 $2^{\Omega(n^{1-2\beta})}$임을 보여, 근사 비율과 LP 크기 사이의 트레이드오프를 밝혀내는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계층의 구조에 의존하지 않고도 CLIQUE를 근사하는 다항식 크기의 LP 이완에 대해 조건부가 아닌 하한을 증명할 수 있는가?
• RQ2 CLIQUE에 대해 비트레이벌 근사 비율을 달성하는 데 있어 최소한의 확장 복잡도는 얼마인가?
• RQ3 Max CUT와 같은 문제의 맥락에서, LP의 근사 한계는 SDP의 근사 한계와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 이동된 UDISJ 행렬의 비음수 랭크 하한을 이용해 조합 최적화 문제에 대해 강력한 근사 불가능성 결과를 도출할 수 있는가?
• RQ5 SDP를 근사하는 데 LP를 사용할 때의 본질적인 제약 조건이 존재하는가? 만약 그렇다면, 그 양적 트레이드오프는 무엇인가?

주요 결과

• CLIQUE에 대해 $O(n^{1/2-\epsilon})$-근사치를 달성하는 다항식 크기의 LP 이완은, 계층을 초월한 일반적인 LP일지라도 크기가 $2^{n^{\Omega(\epsilon)}}$이 되어야 한다.
• 이 프레임워크는 리프팅-프로젝션 계층에서 유도된 LP에 국한되지 않고, 모든 LP 이완에 대해 조건부가 없이 적용 가능하며, 비음수 랭크 하한으로 문제를 환원하는 방식이다.
• 스펙트라헤드론을 다각형으로 근사할 경우, $\rho$가 상수이면 어떤 다각형 이완이라도 확장 복잡도가 $2^{\Omega(n)}$ 이상이어야 한다.
• $\rho = O(n^\beta)$이고 $\beta < 1/2$일 경우, 어떤 이완이라도 확장 복잡도가 $2^{\Omega(n^{1-2\beta})}$ 이상이 되며, 이는 근사 비율과 LP 크기 사이의 트레이드오프를 보여준다.
• 논문은 특정 근사 보장(예: Max CUT에 대한 것들)이 다항식 크기의 LP로는 달성될 수 없으며, 반면에 SDP 기반 알고리즘은 이를 달성할 수 있음을 강력한 증거로 제시한다.
• 결과적으로 CLIQUE 및 Max CUT와 같은 문제에 대해 얻을 수 있는 양호한 근사 비율을 달성하기 위해서는 비-LP 기법(예: SDP 또는 조합 기법)이 필수적임을 시사한다.