[논문 리뷰] Approximation of Linear Differential Equations with variable delay on an Infinite Interval

Daniel Sepúlveda|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 23.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무한 구간에서 변수 지연을 가진 비자율 선형 미분방정식을 근사하기 위해 조각별로 일정한 변수 이산화 방법을 제시한다. 연속 시스템에서 이산 차분 방정식으로의 균일 수렴과 균일 점근적 안정성의 이행을 위한 충분조건를 확립하며, Halanay 부등식의 적분형을 사용하여 Cooke와 Gy"{o}ri(1994)의 결과를 개선한다.

ABSTRACT

We study approximation of non-autonomous linear differential equations with variable delay over infinite intervals. We use piecewise constant argument to obtain a corresponding discrete difference equation. The study of numerical approximation over an unbounded interval is in correspondence with the problem of transference of qualitative properties between a continuous and the corresponding discrete dynamical systems. We use theory of differential equations with delay and theory of integral inequality to prove our main result. We state sufficient conditions for: a) uniform approximation of solutions over an unbounded interval and b) transference of uniform asymptotic stability of non-autonomous linear differential equations with variable delay to the corresponding discrete difference equations. We improve and extended the results of \cite{cooke1994}.

연구 동기 및 목표

• 무한 시간 구간에서 변수 지연을 가진 비자율 선형 미분방정식의 수치 근사를 연구하기 위해.
• 해의 근사값이 [0, ∞)에서 균일 수렴하기 위한 충분조건를 확립하기 위해.
• 연속 지연 미분방정식에서 이산 차분 방정식으로의 균일 점근적 안정성 이행을 조사하기 위해.
• Halanay 부등식의 적분형을 사용하여 이전 결과, 특히 Cooke와 Gy"{o}ri(1994)의 결과를 확장하고 개선하기 위해.
• 신경망과 매개변수 식별과 같은 응용 분야에서 이러한 시스템의 신뢰할 수 있는 수치 시뮬레이션을 위한 이론적 기반을 제공하기 위해.

제안 방법

• 연속 선형 미분방정식을 변수 지연을 가진 것으로부터 조각별 일정한 변수를 사용해 이에 해당하는 이산 차분 방정식으로 변환한다.
• 안정성과 오차 역학 분석을 위해 Halanay 부등식의 적분형을 적용한다.
• 오차 함수 $ E_h(t) $ 를 분석하여, 이가 비동차 함수 미분방정식을 만족함을 보인다.
• 계수 함수 $ a(t) $ 와 지연 함수 $ r(t) $ 에 대한 조건을 설정하여 안정성과 수렴성을 보장한다.
• 지연 미분방정식 이론과 적분 부등식을 활용하여 균일 근사와 안정성 이행을 위한 충분조건를 유도한다.
• 진동하는 계수와 시간에 따라 변하는 지연을 가진 구체적인 예를 통해 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비자율 선형 미분방정식의 해가 [0, ∞)에서 조각별 일정한 변수 이산화 방법을 통해 균일하게 근사가 가능할 조건은 무엇인가?
• RQ2 연속 시스템의 영해가 균일 점근적으로 안정적일 때, 이에 대응하는 이산 차분 방정식에서도 동일한 안정성이 유지되는 조건는 무엇인가?
• RQ3 Halanay 부등식은 변수 지연을 가진 시스템의 오차 역학과 안정성 이행을 분석하기 위해 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 $ a(t) $ 와 $ r(t) $ 에 대해 균일 근사와 안정성 이행을 보장하기 위한 충분조건는 무엇인가?
• RQ5 이 방법은 Cooke와 Gy"{o}ri(1994)의 이전 결과를 어떻게 개선하는가?

주요 결과

• 연속 시스템의 해가 [0, ∞)에서 이산 차분 방정식의 해에 의해 균일하게 근사가 가능할 조건가 충분조건로 확립되었다.
• Yorke의 정리에 따르면, $ 0 < a(t) ≤ \alpha $ 이고 $ \alpha q < \frac{3}{2} $ 라면, 연속 시스템의 영해는 균일 점근적으로 안정적이다.
• 동일한 조건 하에서 이산 시스템 $ \mathfrak{z}_h(n+1) = \mathfrak{z}_h(n) - \mathfrak{a}_h(n) \mathfrak{z}_h(n - k_n) $ 는 연속 시스템의 균일 점근적 안정성을 그대로 이어받는다.
• Halanay 부등식의 적분형을 통해 연속 해와 이산 해 사이의 오차가 지수적으로 감소함을 보였다.
• 이 방법은 시간에 따라 변하는 지연과 비자율 계수를 효과적으로 처리할 수 있었으며, $ a(t) = 1 + \frac{\sin(t)}{3} $ 와 $ r(t) = |\cos(t)| $ 를 가진 예시를 통해 이를 입증하였다.
• 이 결과들은 Cooke와 Gy"{o}ri(1994)의 결과를 확장하고 개선하였으며, 특히 변수 지연과 비자율 시스템의 맥락에서 뚜렷한 향상이 있었다.