[논문 리뷰] Approximation of Lipschitz functions by $\Delta$-convex functions in Banach spaces

Manuel Cepedello Boiso|arXiv (Cornell University)|1997. 02. 13.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 11인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간이 초반사적(superreflexive)임을 입증한다. 이는 모든 리프시츠 함수가 유계 집합 위에서 유클리드 함수의 차분(Δ-볼록 함수)에 의해 균일하게 근사가 가능할 조건과 동치이다. 저자들은 노름의 둥근성(norm rotundity) 기반으로 명시적인 근사 공식을 제시하며, 초반사적 공간에서 리프시츠 함수가 전체 공간에서 Δ-볼록 함수에 의해 균일하게 근사가 가능함을 증명한다. 수렴 속도는 노름의 볼록성 모듈러스의 거듭제곱 유형(power type)과 관련이 있다.

ABSTRACT

In this paper we give some results about the approximation of a Lipschitz function on a Banach space by means of $\Delta$-convex functions. In particular, we prove that the density of $\Delta$-convex functions in the set of Lipschitz functions for the topology of uniform convergence on bounded sets characterizes the superreflexivity of the Banach space. We also show that Lipschitz functions on superreflexive Banach spaces are uniform limits on the whole space of $\Delta$-convex functions.

연구 동기 및 목표

• 유계 집합 위에서 리프시츠 함수의 균일 수렴에 대한 Δ-볼록 함수의 조밀성에 의한 초반사적 바나흐 공간의 특성화.
• 해당 근사가 성립하는 데 필요한 필수 및 충분 조건을 규명함으로써 부드러운 근사 결과를 Δ-볼록 함수로 확장.
• 초반사적 공간에서 리프시츠 함수를 Δ-볼금 함수로 균일하게 근사하는 명시적이고 계산 가능한 공식 제공, 전체 공간에서의 수렴 보장.
• 리프시츠 함수의 진동 안정성 실패가, 최소 초반사적 공간인 ℓp (1 < p < ∞) 에서 볼록 함수의 진동 안정성 실패를 암시함을 보여줌.

제안 방법

• 주어진 리프시츠 함수 f에 대해 fn(x) := inf_y∈X [f(y) + n(2‖x‖² + 2‖y‖² - ‖x + y‖²)] 로 정의된 Δ-볼금 함수의 수열을 제안.
• 각 fn이 Δ-볼금임을 보이기 위해 fn = cn - dn 으로 분해함. 여기서 cn(x) = 2n‖x‖² 이고, dn(x) = sup_y [n‖x + y‖² - 2n‖y‖² - f(y)] 이다.
• 노름의 볼록성 모듈러스를 사용하여, 최소화에서 x와 y 사이의 거리를 제어함으로써, 수렴이 노름의 거듭제곱 유형 p와 연결됨을 밝힘.
• 비초반사적 공간의 단위 구내에서 이중 트리(dyadic trees)를 사용하여, 유계 볼록 함수의 차분으로 균일하게 근사될 수 없는 1-리프시츠 함수를 구성.
• 제임스의 유한 트리 성질과 몫 공간 기법을 활용하여, 비초반사적 공간 내에서 중첩되고 분리된 이중 트리를 귀납적으로 구성.
• 트리 분지에 대해 이중 단계 알고리즘적 추론을 적용하여, 어떤 근사가 존재한다면 볼록 함수가 유계에서 비유계가 되어야 하며, 이는 단위 구 내에서의 유계성과 모순됨을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 집합 위에서 리프시츠 함수가 Δ-볼금 함수의 차분으로 균일하게 근사가 가능한 바나흐 공간의 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 초반사적 공간에서 리프시츠 함수를 Δ-볼금 함수로 균일하게 근사하는 명시적 공식을 구성할 수 있는가? 전체 공간에서의 수렴 보장 가능할까?
• RQ3 노름의 둥근성은 리프시츠 함수의 Δ-볼금 근사에서 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 비진동 안정성(non-oscillation-stable)인 리프시츠 함수의 존재는 최소 초반사적 공간 ℓp (1 < p < ∞) 에서 비진동 안정성인 볼록 함수의 존재를 암시하는가?
• RQ5 유계 볼록 함수의 차분로 리프시츠 함수의 균일 근사가 실패하는 것은 비초반사적 바나흐 공간를 특성화하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 바나흐 공간 X가 초반사적일 필요충분조건은 X 위의 모든 리프시츠 함수가 유계 집합 위에서 유계인 볼록 함수의 차분으로 균일하게 근사가 가능할 것임.
• 초반사적 바나흐 공간에서는, 제안된 공식을 통해 모든 리프시츠 함수가 전체 공간에서 Δ-볼금 함수로 균일하게 근사되며, 이 수렴 속도는 노름의 볼록성 모듈러스의 거듭제곱 유형에 따라 결정됨.
• 공식 fn(x) = inf_y [f(y) + n(2‖x‖² + 2‖y‖² - ‖x + y‖²)] 은 노름이 균일 볼록일 경우 Δ-볼금 함수를 만들어내며, 이는 τb 수렴으로 f에 수렴함을 보여줌.
• 국소 균일 볼록 노름의 경우, 동일한 공식은 f에 τκ 수렴을 보임.
• 비초반사적 공간에서는, 단위 구 BX 위에서 연속적이고 유계인 볼록 함수 c, d에 대해 sup_x∈BX |f(x) - (c - d)(x)| ≥ 1/4 를 만족하는 1-리프시츠 함수 f 가 존재함.
• 유계 볼록 함수의 차분로 균일하게 근사될 수 없는 1-리프시츠 함수의 구성은 비초반사적 공간의 단위 구 내에서 분리된 무한한 이중 트리의 존재에 기반하며, 만약 그러한 근사가 존재한다면 모순이 발생함을 보임.