[논문 리뷰] Approximative solution of the spin free Hamiltonian involving only scalar potential for the quark-antiquark system

Yoon-Seok Choun|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 28.

Numerical methods for differential equations참고 문헌 10인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 작고 질량이 작은 쿼크-항쿼크 시스템의 스핀 없는 해밀토니안을 근사하기 위해 새로운 특수 함수인 그랜드 콘플루언트 하이퍼기하함수(GCH) 함수를 개발한다. 콘플루언트 하이퍼기하함수 이론을 일반화함으로써 GCH 함수는 세 항 재귀관계를 갖는 해석적 해를 가능하게 하여 숨겨진 반경 방향 양자수와 초대칭 및 강입자 스펙트로스코피에 관련된 새로운 질량 공식을 드러낸다.

ABSTRACT

In earlier papers [3,4,5,6] Gursey et al. showed development of a bilocal baryon-meson field from two quark-antiquark fields. The Hamiltonian in the case of vanishing quark masses was shown to have a very good agreement with experiments [5]. The theory for vanishing mass was solved using Confluent Hypergeometric functions [6]. In this paper I construct the normalized wave function for the spin-free Hamiltonian with light quark masses (only up to the first order of the mass of quark). I develop the new kind of special function theory in mathematics that generalize all existing theories of Confluent Hypergeometric types. I call it the 'Grand Confluent Hypergeometric (GCH) Function.' My solution produces previously unknown extra "hidden" radial quantum numbers relevant for description of supersymmetry and for generating new mass formulas. This paper is 1st out of 10 in series "Special functions and three term recurrence formula (3TRF)". See section 6 for all the papers in the series. The next paper in the series describes generalization of three term recurrence relation in linear ordinary differential equations and its applications [8].

연구 동기 및 목표

• 작은 쿼크 질량을 포함하여 영질량 근사 한계를 넘어서 초대칭 쿼크 모델을 확장하기 위해.
• 비영일 때 발생하는 세 항 재귀관계를 갖는 시스템을 기존 콘플루언트 하이퍼기하함수 이론이 기술할 수 없는 한계를 해결하기 위해.
• 존재하는 특수 함수 이론을 일반화하는 새로운 수학적 프레임워크인 그랜드 콘플루언트 하이퍼기하함수(GCH) 함수를 개발하기 위해.
• 메손과 바리온의 레그 제이 트레이젝터리에서의 디게너레이션과 질량 패턴을 설명할 수 있는 이전에 알려지지 않은 숨겨진 반경 방향 양자수를 규명하기 위해.
• 이와 같은 형식을 활용하여 테트라쿼크, 반바리온 등 이국적인 강입자에서의 향후 질량 공식 유도를 위한 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 스칼라 봉쇄 포텐셜과 일阶 쿼크 질량 보정을 포함한 $q-\bar{q}$ 시스템의 스핀 없는 해밀토니안을 수립한다.
• 해밀토니안에서 유도된 두 번째 차수 선형 미분방정식이 거듭제곱 급수 전개에서 세 항 재귀관계를 이끌어내도록 한다.
• 유도된 미분방정식을 해결하기 위해 콘플루언트 하이퍼기하함수의 일반화로써 그랜드 콘플루언트 하이퍼기하함수(GCH) 함수를 도입한다.
• 매개수 치환($\mu=1$, $\varepsilon\omega = -q$)을 통해 GCH 함수와 기존 특수 함수, 특히 비컨플루언트 히운 함수 사이의 연결 고리를 설정한다.
• 세 항 재귀 공식(3TRF) 기법을 사용하여 GCH 함수의 급수 계수에 대한 해석적 해를 도출한다.
• 형식을 적용하여 고유값과 고유함수를 추출하고, 기존의 반경 방향 양자수를 초월하는 새로운 양자수를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 작은 쿼크 질량을 갖는 스핀 없는 쿼크-항쿼크 해밀토니안은 영질량 근사 한계를 넘어서 어떻게 해석적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 상대론적 쿼크 모델의 급수 해가 두 항 재귀관계가 아닌 세 항 재귀관계를 포함할 경우 어떤 새로운 수학적 구조가 나타나는가?
• RQ3 스펙트럼에 다수의 고유값과 숨겨진 양자수가 나타나는 데서 유도되는 물리적 의미는 무엇인가?
• RQ4 새로운 그랜드 콘플루언트 하이퍼기하함수(GCH) 함수는 기존의 특수 함수들인 콘플루언트 하이퍼기하함수와 히운 함수를 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 GCH 함수 프레임워크는 바리온, 반바리온, 이색 메손에 대한 새로운 질량 공식을 도출하는 데 확장 가능한가?

주요 결과

• 작은 쿼크 질량의 도입은 두 항 재귀관계를 세 항 재귀관계로 변화시켜, 새로운 특수 함수인 그랜드 콘플루언트 하이퍼기하함수(GCH) 함수의 필요성을 초래한다.
• GCH 함수는 경량 쿼크 질량을 갖는 스핀 없는 해밀토니안에 대한 해석적 해를 제공하며, 일阶 보정까지 유효하다.
• 해결은 각각 무한한 고유함수 집합과 관련된 무한한 고유값 집합을 드러내며, 새로운 종류의 '숨겨진 반경 방향 양자수'를 도입한다.
• GCH 함수는 콘플루언트 하이퍼기하함수를 일반화하고 특정 매개수 조건($\mu=1$, $\varepsilon\omega = -q$)에서 비컨플루언트 히운 함수로 감소한다.
• 새로운 형식은 이전에 알려지지 않은 질량 공식을 도출할 수 있게 하며, 강입자 스펙트럼에서 초대칭을 기술하는 데 수학적 기초를 제공한다.
• 이 프레임워크는 향후 정확한 질량 관계를 도출할 것으로 기대되는 $q-qq$ 바리온, $\bar{q}-\bar{q}\bar{q}$ 반바리온, $qq-\bar{q}\bar{q}$ 테트라쿼크를 포함한 다른 시스템으로도 확장 가능하다.