[논문 리뷰] Are pseudographs Lagrangian submanifolds

Marie-Claude Arnaud|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 11.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 6인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 작고 양수인 t > 0에 대해, 반대 힘의 흐름 φ−t가 반구함수 u의 초미분 집합 E(u)에 작용할 때, 정확한 라그랑주 리프시츠 그래프를 생성한다는 기하적 증명을 제시한다. 이는 베르나르가 해석적 방법으로 구성한 의사도형과 일치하며, 라크-올라니크 반군을 통해 토넬리 해밀토니안에 대한 C1,1 하위해의 존재성을 증명한다.

ABSTRACT

Let H : T ∗M → R be a Tonelli Hamiltonian defined on the cotangent bundle of a compact and connected manifold and u : M → R be a semi-concave function. If E(u) is the set of all super-differentials of u and (φt) the Hamiltonian flow of H, we prove that for t > 0 small enough, φ−t(E(u)) is an exact Lagrangian Lipschitz graph; we deduce a geometric proof of a result due to Fathi-Siconolfi and Bernard : such a Hamiltonian has always C1,1 subsolutions. Moreover, using the Lax-Oleinik semi-group (Tt), we prove that for t > 0 small enough, φ−t(E(u)) is the graph of dTtu. Hence the Lipschitz pseudographs that P. Bernard build in [2] via an analytic method are some of the pseudographs that we find via this geometric method. ∗ANR KAM faible †Universite d’Avignon et des Pays de Vaucluse, Laboratoire d’Analyse non lineaire et Geometrie (EA 2151), F-84 018Avignon, France. e-mail: [e-mail]

연구 동기 및 목표

• 토넬리 해밀토니안에 대한 의사도형의 해석적 구성에 대한 기하적 대안을 제공하는 것.
• 작은 t > 0에 대해, 반대 해밀토니안 흐름 φ−t에 의한 초미분 집합 E(u)의 상이 정확한 라그랑주 리프시츠 그래프가 되는 것을 증명하는 것.
• 라크-올라니크 반군과 의사도형의 기하적 구성 간의 관계를 설정하는 것.
• 이전에 해석적 방법으로 증명된 바 있었던, 토넬리 해밀토니안에 대한 C1,1 하위해의 존재성에 대한 기하적 증명을 제공하는 것.

제안 방법

• T*M 위에서 정의된 토넬리 해밀토니안 H와 관련된 해밀토니안 흐름 (φt)을 사용한다.
• 콤���트하고 연결된 다양체 M 위의 반구함수 u의 초미분 집합 E(u)에 대해, 역 흐름 φ−t를 적용한다.
• 작은 t > 0에 대해, φ−t(E(u))가 정확한 라그랑주 리프시츠 그래프가 됨을 보인다.
• 라크-올라니크 반군 (Tt)을 이용해, φ−t(E(u))가 dTtu의 그래프와 일치함을 보여준다.
• 기하적 구성과 베르나르가 해석 기법을 사용해 도입한 의사도형 간의 동치성을 확립한다.
• 심플렉틱 기하학과 볼록해 이론의 도구를 활용해, 결과 집합의 정규성과 라그랑주 구조를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 베르나르가 해석적 수단으로 구성한 의사도형이 해밀토니안 흐름을 이용한 기하적 구성으로 복원될 수 있는가?
• RQ2 작은 t > 0에 대해, φ−t에 의한 초미분 집합 E(u)의 상이 정확한 라그랑주 리프시츠 그래프인가?
• RQ3 라크-올라니크 반군은 코탄젠트 번들의 의사도형의 기하적 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 기하적 구성은 토넬리 해밀토니안에 대한 C1,1 하위해를 도출하는가?
• RQ5 초미분에 대한 역 해밀토니안 흐름을 통한 응용에서 얻어진 집합의 심플렉틱성과 라그랑주 성격은 무엇인가?

주요 결과

• 충분히 작은 t > 0에 대해, 집합 φ−t(E(u))는 코탄젠트 번들의 정확한 라그랑주 리프시츠 그래프이다.
• 역 해밀토니안 흐름 φ−t는 초미분 집합 E(u)를 라크-올라니크 반군 (Tt)에 의해 정의된 dTtu의 그래프로 매핑한다.
• 해밀토니안 흐름을 통한 기하적 구성은 베르나르가 해석적 방법으로 구성한 의사도형과 동일한 결과를 낳는다.
• 이 방법은 토넬리 해밀토니안에 대한 C1,1 하위해의 존재성에 대한 새로운 기하적 증명을 제공한다.
• 결과 의사도형은 라그랑주적이며, 약한 케이암 이론 응용에 필요한 정확성과 리프시츠 정규성을 갖춘다.
• 이 구성은 콤팩트하고 연결된 다양체 M 위의 임의의 반구함수 u에 대해 유효하다.