[论文解读] Associated varieties and Higgs branches (a survey)

Tomoyuki Arakawa|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用 5

一句话总结

本综述建立了4D $N=2$ 超 conformal 场论（SCFTs）的 Higgs 分支与顶点代数相关簇之间的对应关系，表明4D $N=2$ SCFT $\mathcal{T}$ 的 Higgs .branch $Higgs_{\mathcal{T}}$ 同构于通过 Beem-Lemos-Liendo-Peelaers-Rastelli-van Rees 映射构造的顶点代数 $\Phi(\mathcal{T})$ 的相关簇 $X_{\Phi(\mathcal{T})}$。该联系通过顶点代数理论暗示了 Schur 指数的模不变性，并为利用代数结构纯粹地定义 Higgs 分支与 Schur 指数提供了数学框架。

ABSTRACT

Associated varieties of vertex algebras are analogue of the associated varieties of primitive ideals of the universal enveloping algebras of semisimple Lie algebras. They not only capture some of the important properties of vertex algebras but also have interesting relationship with the Higgs branches of four-dimensional $N=2$ superconformal field theories (SCFTs). As a consequence, one can deduce the modular invariance of Schur indices of 4d $N=2$ SCFTs from the theory of vertex algebras.

研究动机与目标

• 建立4D $N=2$ SCFT的Higgs分支与顶点代数相关簇之间的数学对应关系。
• 证明4D $N=2$ SCFT $\mathcal{T}$ 的Higgs分支 $Higgs_{\mathcal{T}}$ 等于其对应顶点代数的相关簇 $X_{\Phi(\mathcal{T})}$。
• 通过利用顶点代数理论，证明此类SCFT的Schur指数具有模不变性。
• 通过顶点代数提供Higgs分支与Schur指数的纯粹代数定义，绕过物理定义。

提出的方法

• 通过其Zhu的 $C_2$-代数 $R_V = V/C_2(V)$ 定义顶点代数 $V$ 的相关簇 $X_V = \operatorname{Specm}(R_V)$，该代数结构携带一个泊松代数结构。
• 利用 Beem-Lemos-Liendo-Peelaers-Rastelli 映射 $\Phi$，为每个4D $N=2$ SCFT $\mathcal{T}$ 关联一个顶点代数 $\Phi(\mathcal{T})$，使得 $\Phi(\mathcal{T})$ 的特征标与 $\mathcal{T}$ 的Schur指数相匹配。
• 证明当 $\mathcal{T}$ 满足 $\Phi(\mathcal{T}) = L_k(\mathfrak{g})$ 且水平数 $k = -h^\vee/6 - 1$ 时，相关簇 $X_{L_k(\mathfrak{g})}$ 等于 Higgs 分支 $\overline{\mathbb{O}_{\text{min}}}$，即一个幂零轨道闭包。
• 应用 Drinfeld-Sokolov 约化的 BRST 上同调，证明 $X_{H_{DS,f}^0(V)} = X_V \cap \mathcal{S}_f$，将顶点代数结构与 Slodowy 截面联系起来。
• 利用来自4D SCFT的顶点代数的准利ss性质，确保相关簇为有限维且特征标的模不变性。
• 基于仿射代数与 $W$-代数在特殊水平下的证据，推测对所有4D $N=2$ SCFT，均有 $Higgs_{\mathcal{T}} = X_{\Phi(\mathcal{T})}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\Phi$ 映射下，4D $N=2$ SCFT 的 Higgs 分支是否同构于其对应顶点代数的相关簇？
• RQ2 能否从其对应顶点代数的表示理论推导出4D $N=2$ SCFT 的 Schur 指数的模不变性？
• RQ3 由4D $N=2$ SCFT 产生的顶点代数是否构成一类具有辛相关簇的特殊准利ss顶点代数？
• RQ4 Higgs 分支（一个物理不变量）能否通过顶点代数的相关簇被纯粹代数地定义？
• RQ5 W-代数与 Drinfeld-Sokolov 约化在将 Higgs 分支实现为泊松簇中起什么作用？

主要发现

• 在水平数 $k = -h^\vee/6 - 1$ 时，简单仿射顶点代数 $L_k(\mathfrak{g})$ 的相关簇 $X_{L_k(\mathfrak{g})}$ 同构于 Higgs 分支 $\overline{\mathbb{O}_{\text{min}}}$，其中 $\mathfrak{g} = D_4, F_4, E_6, E_7, E_8$，为 Higgs 分支作为泊松簇提供了具体的实现。
• 4D $N=2$ SCFT 的 Schur 指数是模不变的，这是由于其对应顶点代数 $\Phi(\mathcal{T})$ 的特征标具有模性质，且该代数为 lisse 或 quasi-lisse。
• $\Phi$ 映射将4D $N=2$ SCFT 映射到非单位、非可积的顶点代数，特别地，不包含可积仿射顶点代数。
• 通用 $W$-代数 $\mathscr{W}^k(\mathfrak{g},f)$ 的相关簇 $X_{\mathscr{W}^k(\mathfrak{g},f)}$ 同构于 Slodowy 截面 $\mathcal{S}_f = f + \mathfrak{g}^e$，建立了 $W$-代数与幂零轨道之间的几何联系。
• 猜想 $Higgs_{\mathcal{T}} = X_{\Phi(\mathcal{T})}$ 暗示 Higgs 分支可通过相关簇代数地定义，为物理不变量提供了新的数学方法。
• 从允许的仿射顶点代数构造 $W$-代数，可得到所有例外 $W$-代数，包括极小系列主 $W$-代数，其有理性的确认依赖于顶点代数技术。