[论文解读] Ring objects in the equivariant derived Satake category arising from Coulomb branches (with an appendix by Gus Lonergan)

Alexander Braverman, Michael Finkelberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用 26

一句话总结

本文证明了从三元组簇到仿射格拉斯曼流形的投影下，对偶复形的直接像在等变导出萨塔克范畴中构成一个交换环对象，从而推广了3D $\mathcal{N}=4$ 规范理论中库仑分支的构造。它证明该环对象在等变上同调上诱导出一个交换乘积，提供了交换性的概念性证明，并表明与朗兰兹对偶群相关的正则层可从类型$A$的奎弗规范理论中得出，从而将库仑分支与3D西西亚利安理论的希格斯分支联系起来。

ABSTRACT

This is the second companion paper of arXiv:1601.03586. We consider the morphism from the variety of triples introduced in arXiv:1601.03586 to the affine Grassmannian. The direct image of the dualizing complex is a ring object in the equivariant derived category on the affine Grassmannian (equivariant derived Satake category). We show that various constructions in arXiv:1601.03586 work for an arbitrary commutative ring object. The second purpose of this paper is to study Coulomb branches associated with star shaped quivers, which are expected to be conjectural Higgs branches of $3d$ Sicilian theories in type $A$ by arXiv:1007.0992.

研究动机与目标

• 通过等变导出萨塔克范畴中的环对象，推广库仑分支的数学定义。
• 通过几何且概念性的构造，证明三元组簇的等变上同调上的卷积积的交换性。
• 将正则层（作为交换环对象）实现为类型$A$的带框架奎弗规范理论的结果，从而与3D西西亚利安理论的希格斯分支建立联系。
• 将星形奎弗规范理论的库仑分支视为各支腿上环对象的粘合构造。
• 建立此类奎弗理论的库仑分支与类型$A$中金兹堡-卡赞丹全纯辛流形之间的同构关系。

提出的方法

• 通过投影$\pi: \mathcal{R} \to \mathrm{Gr}_G$，在等变导出范畴$D_G(\mathrm{Gr}_G)$中构造环对象$\mathscr{A} = \pi_*\boldsymbol{\omega}_{\mathcal{R}}[-2\dim\mathbf{N}_{\mathcal{O}}]$。
• 定义卷积积$\mathsf{m}: \mathscr{A} \star \mathscr{A} \to \mathscr{A}$，并证明其使$\mathscr{A}$在$D_G(\mathrm{Gr}_G)$中成为一个交换环结构。
• 利用导出萨塔克等价性，将$\mathscr{A}$识别为类型$A_{N-1}$的带框架奎弗规范理论（特定维数向量）对应的正则层$\mathscr{A}_R$。
• 应用粘合构造$i_\Delta^!(\boxtimes \mathscr{A}_i)$，从各支腿上的对象构建新的交换环对象。
• 验证星形奎弗理论的库仑分支在$A_1$和$A_2$情形下与金兹堡-卡赞丹构造一致，确认了预期的辛几何性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能通过几何方法证明三元组簇的等变博雷尔-莫尔斯上同调上的卷积积的交换性，而无需直接计算？
• RQ2 在导出萨塔克范畴中，正则层$\mathscr{A}_R$是否可作为类型$A$的奎弗规范理论的上推？
• RQ3 星形奎弗规范理论的库仑分支是否可被实现为各支腿上环对象的粘合？其结果是否与已知的辛流形一致？
• RQ4 3D西西亚利安理论在类型$A$下的库仑分支是否同构于金兹堡-卡赞丹全纯辛流形？
• RQ5 朗兰兹对偶群自同构$g \mapsto g^{-1}$在环对象构造及其对称性性质中起什么作用？

主要发现

• 直接像$\mathscr{A} = \pi_*\boldsymbol{\omega}_{\mathcal{R}}[-2\dim\mathbf{N}_{\mathcal{O}}]$是$D_G(\mathrm{Gr}_G)$中的交换环对象，为卷积积的交换性提供了概念性证明。
• 对应于$G^\vee$的不可约表示的正则层$\mathscr{A}_R$，被实现为类型$A_{N-1}$的带框架奎弗规范理论的$\mathscr{A}$，其中$\dim V = (N-1, N-2, \dots, 1)$且$\dim W = (N, 0, \dots, 0)$。
• 星形奎弗规范理论的库仑分支通过粘合构造与金兹堡-卡赞丹流形在类型$A$中同构，如[Bap15]中所确认。
• 在$A_1$和$A_2$情形下，库仑分支分别同构于$\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$和最小幂零轨道，确认了预期的辛几何性质。
• 在命题5.20和命题5.23的证明中，必须使用自同构$g \mapsto g^{-1}$于$G^\vee$上，以确保与导出萨塔克等价性的相容性。