[논문 리뷰] Asymmetric Number Partitioning with Splitting and Interval Targets

Samuel Bismuth, Erel Segal-Halevi외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 25.

Scheduling and Optimization Algorithms인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 분할과 간격 목표를 고려한 비대칭 수 분할 문제를 연구하며, 세 가지 변형을 제안한다: 분할 가능한 항목, 제한된 분할 횟수, 간격 기반 의사결정 문제. 고정된 n ≥ 3에 대해 s ≥ n−2(분할 가능한 항목), t ≥ n−1(분할 횟수), 또는 u ≥ (n−2)/n(간격 목표)일 경우 다항식 시간 내에서 해를 구할 수 있으며, 그 외의 경우 문제는 강한 NP-완전성을 갖는다. 이 결과는 정의된 분할과 스케줄링 문제를 비대칭적 인민을 가진 에이전트로 일반화한다.

ABSTRACT

The n-way number partitioning problem is a classic problem in combinatorial optimization, with applications to diverse settings such as fair allocation and machine scheduling. All these problems are NP-hard, but various approximation algorithms are known. We consider three closely related kinds of approximations. The first two variants optimize the partition such that: in the first variant some fixed number s of items can be split between two or more bins and in the second variant we allow at most a fixed number t of splittings. The third variant is a decision problem: the largest bin sum must be within a pre-specified interval, parameterized by a fixed rational number u times the largest item size. When the number of bins n is unbounded, we show that every variant is strongly NP-complete. When the number of bins n is fixed, the running time depends on the fixed parameters s,t,u. For each variant, we give a complete picture of its running time. For n = 2, the running time is easy to identify. Our main results consider any fixed integer n ≥ 3. Using a two-way polynomial-time reduction between the first and the third variant, we show that n-way number-partitioning with s split items can be solved in polynomial time if s ≥ n-2, and it is NP-complete otherwise. Also, n-way number-partitioning with t splittings can be solved in polynomial time if t ≥ n-1, and it is NP-complete otherwise. Finally, we show that the third variant can be solved in polynomial time if u ≥ (n-2)/n, and it is NP-complete otherwise. Our positive results for the optimization problems consider both min-max and max-min versions. Using the same reduction, we provide a fully polynomial-time approximation scheme for the case where the number of split items is lower than n-2.

연구 동기 및 목표

• 비대칭적 빈에 대한 전통적 수 분할 문제를 정당성 비율을 고려한 일반화하여, 불균형한 요구를 가진 에이전트에게도 공정한 분배를 가능하게 한다.
• 고정된 분할 가능한 항목, 제한된 분할 횟수, 간격 기반 의사결정 문제의 세 가지 완화된 변형의 계산 복잡도를 분석한다.
• 매개변수 s(분할 가능한 항목 수), t(분할 횟수), u(간격 목표)에 따라 다항식 시간 내에서 해를 구할 수 있는 정확한 임계값을 규명한다.
• 이전의 동일한 빈에 대한 긍정적인 결과를 비대칭 설정으로 확장하여, 고정된 n ≥ 3에 대해 완전한 복잡도 그림을 제공한다.

제안 방법

• Dec-SplitItem[n,s], Dec-Splitting[n,t], 그리고 매개변수 u로 파arameterized된 간격 목표 기반 의사결정 문제의 세 가지 새로운 변형을 도입한다.
• 분할 가능한 항목과 간격 목표 변형 간의 이방향 다항식 시간 환원을 통해 복잡도의 동등성을 입증한다.
• 비대칭 최소-최대 문제를 해결하기 위해 완전 다항식 시간 근사 알고리즘(FPTAS)을 적용하며, 주 알고리즘의 실행 시간은 O(m^4 log AS)로 제한된다.
• 항목의 총합과 정밀도 매개변수 ϵ에 따라 결정되는 L^n 이하의 상태 공간 크기를 갖는 동적 프로그래밍 프레임워크를 활용한다.
• 3-분할 문제로의 환원을 통해 매개변수 값이 임계 임계값 이하일 경우 강한 NP-완전성을 증명한다.
• 상대적 합과 항목 크기의 범위를 고려한 바운드를 사용하여 빈의 항목 수와 분포를 분석하며, 각 빈의 항목 수에 대한 날카로운 상한을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n개의 빈에 대해 s(분할 가능한 항목 수)가 어떤 조건일 경우 비대칭적 빈을 고려한 n방향 수 분할 문제가 다항식 시간 내에서 해를 구할 수 있는가?
• RQ2 최대 t회의 분할이 허용될 경우, 문제는 언제 다항식 시간 내에서 해를 구할 수 있으며, 언제 NP-완전성이 성립하는가?
• RQ3 간격 목표 변형의 경우, 문제의 다항식 시간 내 해법이 가능해지는 u의 임계값은 무엇인가?
• RQ4 동일한 빈에서의 결과를 비대칭적 빈과 정당성 비율이 있는 경우로 확장할 때 복잡도 결과는 어떻게 변화하는가?
• RQ5 동일한 빈에 대한 긍정적인 결과를 비대칭 최소-최대 및 최대-최소 목표로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 고정된 n ≥ 3에 대해, s개의 분할 가능한 항목이 있는 n방향 수 분할 문제는 s ≥ n−2일 경우 다항식 시간 내에서 해를 구할 수 있으며, 그 외의 경우 강한 NP-완전성을 갖는다.
• 최대 t회의 분할이 허용될 경우, t ≥ n−1일 경우 문제는 다항식 시간 내에서 해를 구할 수 있으며, 그 외의 경우 NP-완전성이 성립한다.
• 간격 목표 변형의 경우, u ≥ (n−2)/n일 경우 다항식 시간 내에서 해를 구할 수 있으며, 그 외의 경우 강한 NP-완전성이 성립한다.
• 주 알고리즘의 실행 시간은 O(m^4 log AS)이며, 여기서 m은 항목 수이고 AS는 총합이다.
• 이중 빈의 경우, 각 빈의 항목 수는 엄격하게 제한되며, 약속된 조건 하에서 각 빈의 항목 수는 최대 하나의 가능한 값만 갖는다.
• 매개변수 s, t, u에 따라 다항식 시간 내에서 해를 구할 수 있는지 여부와 NP-완전성 사이의 완전한 이분법을 이 paper에서 확립한다.