[논문 리뷰] Asymmetries in the Shanks-Renyi Prime Number Race

Greg Martin|ArXiv.org|2000. 10. 09.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 8과 12를 법으로 하는 소수의 비대칭성을 조사하며, 비제곱 잔여류(예: 8로 나눈 나머지가 3, 5, 7인 것들)가 제곱 잔여류(예: 8로 나눈 나머지가 1인 것들)보다 소수를 세는 데서 일관되게 앞서며, 그 정도의 편향은 다양하게 나타남을 보여준다. GRH와 LI 하에서 명시적 공식을 사용하여, π(x; q, a)의 순서에 대한 로그 밀도를 정량화함으로써, π(x; 8, 3) > π(x; 8, 5) > π(x; 8, 7)와 같은 특정 부등식이 다른 것들보다 더 자주 발생하는 이유를 디리클레 L함수의 특성 기여의 상관관계로 설명한다.

ABSTRACT

It has been well-observed that an inequality of the type $π(x;q,a) > π(x;q,b)$ is more likely to hold if $a$ is a non-square modulo $q$ and $b$ is a square modulo $q$ (the so-called ``Chebyshev Bias''). For instance, each of $π(x;8,3)$, $π(x;8,5)$, and $π(x;8,7)$ tends to be somewhat larger than $π(x;8,1)$. However, it has come to light that the tendencies of these three $π(x;8,a)$ to dominate $π(x;8,1)$ have different strengths. A related phenomenon is that the six possible inequalities of the form $π(x;8,a_1) > π(x;8,a_2) > π(x;8,a_3)$ with $\{a_1,a_2,a_3\}=\{3,5,7\}$ are not all equally likely---some orderings are preferred over others. In this paper we discuss these phenomena, focusing on the moduli $q=8$ and $q=12$, and we explain why the observed asymmetries (as opposed to other possible asymmetries) occur.

연구 동기 및 목표

• 비제곱 잔여류가 소수 세기 함수에서 제곱 잔여류보다 항상 앞서는 이유를 설명하는 것, 비록 소수 세기 함수 π(x; q, a)와 π(x; q, b)가 q와 서로소인 a, b에 대해 渐近적으로 동일하더라도 그렇다.
• 주어진 법 q에 대해 π(x; q, a) 간의 다양한 순서의 상대적 가능성도 정량화하는 것.
• 특정 삼중 순서(예: π(x; 8, 3) > π(x; 8, 5) > π(x; 8, 7))가 다른 것들보다 더 자주 발생하는 이유를 밝혀내는 것, 비록 모든 참여 잔여류가 비제곱이더라도 그렇다.
• 두 가지 비교를 넘어서 작은 법에서의 다중 비교인 소수 경쟁의 일반화를 위한 이해를 확장하는 것.
• 디리클레 L함수의 영점들의 선형 독립성 가정(LI)이 소수 세기 함수 순서의 분포에 미치는 영향을 탐색하는 것.

제안 방법

• GRH 하에서 ψ(x; q, a)의 명시적 공식을 사용하여 θ(x; q, a)를 표현하고, 디리클레 L함수의 비자명한 영점들의 합을 포함하는 渐近 전개를 유도한다.
• 평균 주위의 변동을 연구하기 위해 정규화된 오차 항 E(x; q, a) = (log x)/√x × (φ(q)π(x; q, a) − π(x))를 정의한다.
• 리우빌 함수와 특성 합을 사용하여 E(x; q, a)를 γ에 대한 합 ∑ xiγ / (1/2 + iγ)로 연결함으로써, 진동 성분을 모델링한다.
• GRH와 LI를 가정할 때, π(x; q, a1) > ··· > π(x; q, ar)를 만족하는 x의 비율을 측정하기 위해 로그 밀도 δq;a1,...,ar를 정의한다.
• 특성 값 χ(ai)의 상관관계를 삼중조 (a1, a2, a3)에 대해 분석하여, 특정 순서가 왜 선호되는지 설명한다. 특히, 각 특성에 대해 최소 두 개의 값이 동일할 경우에 해당한다.
• 부분 적분과 오차 항 추정을 사용하여 θ(x; q, a)와 π(x; q, a)를 연결함으로써, 유도된 밀도 표현식이 渐近적으로 타당함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비록 π(x; q, a)와 π(x; q, b)가 q와 서로소인 a, b에 대해 渐近적으로 동일하더라도, 왜 법 q에 대한 비제곱 잔여류가 소수 경쟁에서 항상 앞서는가?
• RQ2 8로 나눈 나머지가 {3, 5, 7}인 경우에 대해, π(x; q, a) 간의 다양한 삼중 순서의 상대적 가능성은 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ3 특성 값 χ(ai) 간의 상관관계는 소수 경쟁에서 관찰된 비대칭성에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ4 비록 모든 참여 잔여류가 비제곱이더라도, 왜 π(x; 8, 3) > π(x; 8, 5) > π(x; 8, 7)와 같은 순서가 다른 것들보다 더 자주 발생하는가?
• RQ5 r ≥ 4일 때, |π(x; q, ai) − π(x; q, aj)|의 최대 차이의 lim inf는 x → ∞일 때 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• GRH와 LI 하에서 π(x; 8, 3) > π(x; 8, 5) > π(x; 8, 7)의 순서에 대한 로그 밀도 δ8;3,5,7는 0보다 크며, 이는 해당 순서가 양의 밀도로 발생함을 의미한다.
• 소수 경쟁에서 비제곱이 제곱보다 유리한 편향은 정량적으로 일부 비제곱에 대해 더 강하다. 예를 들어, π(x; 8, 3)이 π(x; 8, 1)보다 π(x; 8, 5)나 π(x; 8, 7)보다 더 강하게 지배한다.
• 8을 법으로 하는 {3, 5, 7} 간의 삼중 경쟁은 비대칭적이다. 6개의 순열이 모두 동일한 확률로 발생하지 않으며, 이 비대칭성은 각 디리클레 특성 χ mod 8에 대해 χ(3), χ(5), χ(7) 중 최소 두 개가 동일하기 때문이다.
• δq;a,b > 1/2이 되는 것은 a가 비제곱이고 b가 제곱 잔여류일 때이고, 이는 보편적인 체비셰프 편향의 존재를 확인한다.
• GRH와 LI 하에서 π(x; q, a) = π(x; q, b)인 x의 집합은 로그 밀도가 0이므로, 이러한 등식은 흔하지 않다.
• 저자는 r ≥ 4일 때, |π(x; q, ai) − π(x; q, aj)|의 최대 차이의 lim inf가 무한대일 것이라 추측하며, r ≤ 3일 땐 0이므로 r = 4에서 단계 전이가 일어나는 것으로 보인다.